代數集

代數集是特殊的集合，它是若干個多項式的公共根的集合，是與代數簇密切相關的概念。

基本介紹

• 中文名：代數集
• 外文名：algebraic set
• 所屬學科：數學

定義

代數集是特殊的集合，它是若干個多項式的公共根的集合，是與代數簇密切相關的概念。設 S 是域 K 上多項式環 的若干個多項式的集合，記，對任意為 S 中所有多項式的公共根的集合，對於 Kⁿ 中的子集 T，若存在集合 使得 T=V(S)，則稱 T 為一個代數集，故 V(S)=V((S))。因此，K中每個代數集皆為 V(ℜ) 的形式，其中

稱V(ℜ) 為理想 ℜ 對應的代數集。

性質

代數集的交與空集合 以及 Kⁿ=V(0) 皆為代數集。反之，設 A 是Kⁿ的一個子集合，若

則 稱為集合 A 對應的多項式理想。

另一方面，當 K 為代數閉域時，Kⁿ 中代數集的全體與 中根理想的全體 在映射下 是反序一一對應的。

代數簇

代數幾何學上，代數簇是多項式集合的公共零點解的集合。代數簇是經典（某種程度上也是現代）代數幾何的中心研究對象。 術語簇（variety）取自拉丁語族中詞源（cognate of word）的概念，有基於“同源”而“變形”之意。 歷史上，代數基本定理建立了代數和幾何之間的一個聯繫，它表明在複數域上的單變數的多項式由它的根的集合決定，而根集合是內在的幾何對象。在此基礎上，希爾伯特零點定理提供了多項式環的理想和仿射空間子集的基本對應。利用零點定理和相關結果，我們能夠用代數術語捕捉簇的幾何概念，也能夠用幾何來承載環論中的問題。