二項律

設(X_i)1≤i≤n為n個獨立且有相同律的伯努利變數的序列，設p為使X_i取值1的機率，假定q=1-p，且S=X₁+X₂+…+X_n，設k為屬於區間[0，n]的一個整數。則使隨機變數S取值k的機率等於Cknk；通常記為b (k，n，p)。 映射k↦b(k，n，p) 叫做含參數n與p的二項律，記為ℬ(n，p)。S的期望等於np，方差等於npq。

基本介紹

• 中文名：二項律
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：機率分布

基本介紹

設事件A能在一個試驗中出現，如果A不出現，就將出現對立事件B。設p是出現事件A的機率。顯然出現對立事件的機率將是。如果連續進行n次試驗，如果不規定這些事傳出現的次序，則事件A出現恰恰k次而事件B當然出現次的機率將是

由於機率即是二項式展開中的一項，所以具有(1)形式的機率分布叫做分布的二項律。

數字p及q由經驗確定而試驗次數n則事先固定。在這情況下，我們來求使得達到最大可能值時的k值。注意，是二項式的展開式中的k階項。

比較第項及第項。就有

只要k小於或等於，就隨k的增加而增大。如果是一個整數，則對於

及

有兩個極大的機率。如果不是一個整數，則僅有一個極大機率：就是k等於稍大於的整數，或者同樣地是k等於稍小於的整數。因為在以下的敘述中，我們總是認為n是一個大數，所以可說，出現事件A最可能的次數是np(與確實的數目相差僅小於1)而不致引起相當誤差。如果用k/n表示事件A的出現頻率，就可以說，頻率的最可能值將近似地等於機率p。

現在來求事件A在n次試驗中至少出現k次的機率，這個機率將等於總和

也就是說等於的展開式的起首k+1個項的總和。

二項律的特徵函式

考慮隨機變數x，它在事件A出現的情況下當作等於1，而在相反情況下則當作等於0。分布函式將是在點0固定一個質量q而在點+1固定一質量p。於是就有

微分將在所有點都是零，除了點及，在這兩點上它分別具有值q及p。

對一次試驗的特徵函式於是將是

對n次試驗的特徵函式將是

展開右邊：

對n次試驗，變數k可取n+1個可能值：

它的機率是

令函式的平均值的兩個表達式彼此相等，就有

把公式(2)及(3)全等起來，從而

就這樣又求得了二項律。