不變流形

在動力系統理論中，一個動力系統的不變流形（invariant manifold），是在這個動力系統作用下不變的拓撲流形。慢流形、中心流形、穩定流形、不穩定流形、慣性流形都是其特例。

通常情況下，不變流形是作為平衡點的不變子空間的微擾而構造出來的（但並不總是這樣）。

基本介紹

• 中文名：不變流形
• 外文名：invariant manifold

定義

考慮微分方程

設在初值 條件下的解為 。若對任意的 ，都有 （即，每條通過點 的軌道都位於集合 中），則稱 是這個系統的不變集。若 還是一個流形，則稱為不變流形。

例子

簡單2維系統

設 是一個確定的參數，考慮耦合微分方程組

原點是平衡點。這個系統至少有兩個過原點的不變流形。一個是垂直直線 ，因為此時 ，保證了 的值一直保持為0。另一個是拋物線 。要證明這個不變性，只需考慮時間導數 ，在 條件下保持為0即可。

非自洽動力系統的不變流形

微分方程

代表了一個非自洽系統，解具有形式 ，初始條件 。在這種系統的擴展相空間 中，任何初始曲面 都能生成不變流形

一個基本的問題是，在這一大類不變流形中，如何確定出對整個系統的動力學影響最大的那一個。一個非自洽動力系統的擴展相空間中，最有影響的那個不變流形就是著名的拉格朗日擬序結構。