不變檢驗(invariant test)在某種變換群下保持不變的檢驗。當一個假設檢驗問題在某種變換群下保持不變時，可以要求其檢驗也具有相應的不變性。
用變換群來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換群在幾何中的主導作用。
基本介紹
- 中文名：不變檢驗
- 外文名：invariant test
- 領域：數學
- 學科：假設檢驗
- 定義：變換群下保持不變的檢驗
- 函式：功效函式
概念,變換群,假設檢驗,功效函式,
概念
不變檢驗是在某種變換群下保持不變的檢驗。當一個假設檢驗問題在某種變換群下保持不變時，可以要求其檢驗也具有相應的不變性。設X=(X1，X2，…，Xn)是從分布族{Fθ(x)，θ∈Θ}的總體中抽取的一個樣本，其中θ是未知參數，Θ為參數空間。設G是一個變換群，G-是G的誘導變換群。對於H0： θ∈Θ0←→H1： θ∈Θ1=Θ-Θ0的檢驗問題，若g∈G的誘導變換g'，既是Θ0本身上的一一變換，也是Θ1自身上的一一變換，則稱該檢驗問題在g變換下保持不變。若對每個g∈G，此檢驗問題在g變換下保持不變，則稱該檢驗問題對變換群G保持不變。若某個檢驗函式φ(x)對一切g∈G及x∈X，滿足φ(gx)=φ(x)。則稱檢驗φ關於G不變，簡稱不變檢驗。若上式僅對幾乎所有的x成立，則稱為幾乎不變檢驗。
設φ是水平α的不變檢驗，若對一切水平α的不變檢驗φ'，它們的功效函式對一切θ∈Θ1，都滿足：
變換群
一組變換，對變換的乘積構成的群。設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G；②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換群。
例如，平移變換可以構成一個群：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換；每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。
用變換群來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換群在幾何中的主導作用。他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換群的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換群之下研究圖形不變性質與不變數的一門科學。這種觀點突出了變換群在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》。
按照變換群的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換群、仿射變換群、相似變換群、正交變換群下不變性質和不變數的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學。正交變換群也稱為運動群，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動群下不變性質和不變數的幾何學。近代發展很快、套用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變數的幾何學。
假設檢驗
根據對隨機變數X的n次獨立觀察X1，X2，…，Xn，用統計的方法，來檢驗關於X的某些假設H0是否正確，這類問題稱為假設檢驗。例如已知樣本來自正態總體，問是否有理由說它來自均值為μ0的正態總體?又例如已知相互獨立的兩個樣本，它們分別來自兩個正態總體，是否能說這兩個總體的均值相同或它們的方差相同?
假設檢驗的依據是“小機率原理”。假設H0，預計事件出現的機率α很小，但在一次試驗中，事件A居然出現了，從而否定H0，這一原理稱為“小機率原理”。
在統計假設檢驗中，有兩類的判斷錯誤：
一、當H0是真時，卻拒絕了H0，這是第一類錯誤，或“棄真”的錯誤。犯這類錯誤的機率就是顯著水平的數α，
二、當H0不真時，卻接受了H0，這是第二類錯誤，或“取偽”的錯誤。把這類錯誤的機率記作β0。
我們希望α和β都小一些。但是，在樣本容量確定以後，犯兩類的機率不可能同時減小。在實際中可根據犯兩類錯誤可能造成的損失和增大容量所增加的費用來比較選擇適當的α、β和n的值。
功效函式
功效函式亦稱勢函式。假設檢驗中的一種機率。是指採用某檢驗時否定原假設的機率。設總體ξ的分布函式為Fθ(x)，θ∈Θ，X=(X1，X2，…，Xn)是一個樣本，Θ0為參數空間Θ的非空子集，假定Θ1為Θ-Θ0的一個子集，給定假設H0：θ∈Θ0和備選假設H1：θ∈Θ1， φ(x)為一個檢驗，稱定義在Θ1上的函式：
