上積

上積是範疇論的基本概念之一。在範疇論中上積是積的對偶概念，是模論中直和概念的推廣，因此也稱直和或和。

基本介紹

• 中文名：上積
• 外文名：cup product
• 適用範圍：數理科學

簡介

上積是定義在拓撲空間奇異上鏈復形及奇異上同調群中的一種乘法。

上同調群的上積

設 X 是一個拓撲空間，奇異上鏈復形的上積

是一個雙線性運算。對於奇藝上鏈 和 ，它們的上積記為 ，其定義由它在奇異鏈的取值給出：對於任一 維奇異鏈 ，規定

奇異上鏈復形的上積誘導了拓撲空間 X 各維數奇異上同調之間的一個乘法

稱為上同調群的上積。

上同調的上積不一定是交換的，對於 和 ，有關係式 。因此，上同調群的上積稱為是斜交換的。

另外，上同調群的上積等於如下同態的複合：

其中， 是叉積，是對角映射 定義為 導出的同態。

類似地，還有相對上同調的上積，其一般的形式為

對於一般係數群的拓撲空間奇異上鏈復形及奇異上同調群，當係數群是一個交換群時，亦可定義其上積。