三割線定理是調和點列中的一個熟知結論，卻曾被民間數學家多次"發現".三割線定理可表述為：PAB、PCD為⊙O的兩任意割線，AD與BC交於Q，PQ交⊙O於E、F，則1/PE+1/PF=2/PQ
推廣：自二次曲線L外一點P作直線交L於A,B,C,D,弦AD,BC交於Q,PQ交L於E,F,則1/PE+1/PF=2/PQ
基本介紹
- 中文名：三割線定理
- 類型：幾何
- 所屬領域：數學
- 難度係數：較難
證法1,證法2,
證法1
三角函式證法
在這裡僅考慮二次曲線為圓的情況
連BF、DF、AE、CE
由AE內分∠PAQ→由分角定理→
(EQ/PE)=(sin∠EAQ/sin∠PAE)（sin∠APQ/sin∠AQP）
由CE內分∠PCQ→由分角定理→
(EQ/PE)=(sin∠ECQ/sin∠ECP)（sin∠CPQ/sin∠CQP）
由∠EAQ=∠DFE=∠ECP，∠PAE=∠EFB=∠ECQ→
（EQ·EQ）/（PE·PE）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/（sin∠AQP·sin∠CQP）⑴。
由BF外分∠PBQ→
(FQ/PF)=(sin∠FBQ/sin∠PBF)（sin∠APQ/sin∠BQP○）
由DF外分∠PDQ→
(FQ/PF)=(sin∠FDQ/sin∠PDF)（sin∠CPQ/sin∠DQP○）
由∠FBQ與∠PDF，∠PBF與∠FDQ互補，→
（FQ·FQ）/（PF·PF）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/（sin∠CQP○·sin∠AQP○）⑵，（○表示互補）
⑴⑵→EQ/PE=FQ/PF→（PQ－PE）/PE=（PF－PQ）/PF→（PQ/PE）－1=1－（PQ/PF）→
PQ/PE+PQ/PF=2→1/PE+1/PF=2/PQ。證畢。
證法2
幾何證法
在這裡僅考慮二次曲線為圓的情況
在PE上取一點G，使=PQ*PG=PA*PB=PC*PD
易證AQGB共圓，圓心為O1，BCQG共圓，圓心為O2
∵兩圓圓心的連線段垂直於兩圓交點的連線段
∴O1O2⊥PF，O1O⊥PB，O2O⊥PD
∴∠O2O1O=∠BPF，∠O1O2O=∠DPF
易證∠BGQ=∠PCQ=180°-∠BAQ
∴∠QBG=∠DPF，∠GO1O2=∠QBG=∠DPF，同理可得：∠GO2O1=∠BPF
∴∠O2O1O=∠GO2O1，∠O1O2O=∠GO1O2，△O1O2G≌△O1O2O(AAS)
∴四邊形O1O2OG為等腰梯形，OG∥O1O2
又O1O2⊥PB，故OG⊥PB，垂徑定理得：G為EF中點
∴2PG=PE+PF
又PG*PQ=PA*PB=PE*PF，∴2PG*PQ=2PE*PF
∴(PE+PF)*PQ=2PE*PF，等式兩端同時除以PE*PF*PQ得：1/PE+1/PF=2/PQ。證畢。
