一元布爾代數

在抽象代數中，一元布爾代數是帶有標識（signature）的代數結構。

基本介紹

• 中文名：一元布爾代數
• 定義：帶有標識的代數結構
• 學科：抽象代數
• 領域：抽象代數

定義

在抽象代數中，一元布爾代數是帶有如下標識（signature）的代數結構

<A, ·, +, ', 0, 1, ∃> 有型<2,2,1,0,0,1>，這裡的 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布爾代數。

前綴一元運算元∃ 指示存在量詞，它滿足恆等式：

1. ∃0 = 0
   
2. ∃x≥x
   
3. ∃(x+y) = ∃x+ ∃y
   
4. ∃x∃y= ∃(x∃y).
   

∃x是x的“存在閉包”。對偶於 ∃ 的是一元運算元∀，它是全稱量詞，定義為 ∀x:= (∃x')'。

一元布爾代數有對偶公式，取 ∀ 為原始，把 ∃ 定義為 ∃x:= (∀x')'。所以對偶的代數有標識 <A, ·, +, ', 0, 1, ∀>，帶有 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布爾代數。此外，∀ 滿足上面恆等式的對偶版本：

1. ∀1 = 1
   
2. ∀x≤x
   
3. ∀(xy) = ∀x∀y
   
4. ∀x+ ∀y= ∀(x+ ∀y).
   

∀x是x的“全稱閉包”。

討論

一元布爾代數與拓撲學有重要聯繫。如果 ∀ 被解釋為拓撲學的內部運算元，上面的（1）-（3）公理加上公理 ∀(∀x) = ∀x建成了內部代數的公理。但是 ∀(∀x) = ∀x不能從 (1)-(4) 來證明。此外，一元布爾代數的另一個可供選擇的公理化組成自（重解釋的）內部代數的公理加上 ∀(∀x)' = (∀x)' (Halmos 1962: 22)。所以一元布爾代數是半單純的內部/閉包代數使得：

• 全稱（對偶的存在）量詞解釋內部運算元（閉包運算元）;
  
• 所有開放（或閉合）元素也是閉開的。
  

一元布爾代數的更簡潔的公理化是上述 (1) 和 (2) 加上 ∀(x∨∀y) = ∀x∨∀y(Halmos 1962: 21)。這個公理化模糊了與拓撲學的聯繫。

一元布爾代數形成了一個簇。它們對應一元謂詞邏輯，而布爾代數對應於命題邏輯，而多元代數對應於一階邏輯。Paul Halmos在研究多元代數的時候發現了一元布爾代數；Halmos (1962) 再版了相關的論文。

一元布爾代數還與模態邏輯有重要聯繫。模態邏輯S5，被看作S4中一個理論，是一元布爾代數的模型，如同模態邏輯S4是內部代數的模型。類似的，一元布爾代數為S5提供了代數語義。所以S5-代數是一元布爾代數的同義詞。

參見

• 一元邏輯
  
• 模態邏輯
  
• 內部代數
  
• 閉集