基本介紹
- 中文名:l∞空間
- 領域:數學
簡介,可數維度空間的p-範數,Lp空間,參見,
簡介
在數學中,Lp空間是由p次可積函式組成的空間;對應的ℓp空間是由p次可和序列組成的空間。它們有時叫做勒貝格空間,以昂利·勒貝格命名(Dunford & Schwartz 1958,III.3),儘管依據Bourbaki (1987)它們是Riesz (1910)首先介入。在泛函分析和拓撲向量空間中,他們構成了巴拿赫空間一類重要的例子。l∞空間是一種所有有界數列構成的空間。
可數維度空間的p-範數
有限維空間中的p-範數可以如{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}一般定義。當空間維數是可數無限時,也可以將p-範數的定義拓展到其上。這個定義一般適用於由數列或序列構成的空間,稱為{\displaystyle \ell ^{2}}空間。常見的有如下例子:
空間,所有平方收斂級數列構成的空間;
空間,所有有界數列構成的空間。
事實上,序列集合上可以自然地按照序列的加法和數乘定義出向量空間。而{\displaystyle \ell ^{p}}空間則是在這個向量空間中定義如下的p-範數:
然而,上式中右側的級數不總是收斂的(有可能其級數和是無窮大)。所以l空間實際上是所有序列集合中,令上式右側的級數能夠收斂的元素組成的子集。
可以證明,隨著p增大, 空間包含的元素也越多。實際上,如果p<q,那么 空間是 空間的真子集。比如說,以下的數列:
不屬 ,因為 的和是無窮大。不過,由於
的和是有限的,所以數列a屬於 。
Lp空間
當空間維度是無窮而且不可數的時候(沒有一個可數的基底),無法運用有限維或可數維度空間的辦法來定義範數,但對於可積函式空間,仍然能夠定義類似的概念。具體來說,給定可測空間(S,Σ,μ)以及大於等於1的實數p,考慮所有從S到域 上的可測函式。考慮所有絕對值的p次冪在S可積的函式,也就是集合:
集合中的函式可以進行加法和數乘: