黎曼空間

黎曼空間

黎曼空間是一種矢量空間,它滿足空間中存在度規張量,使臨近兩點的距離由正定二次型決定。

基本介紹

  • 中文名:黎曼空間
  • 外文名:Riemannian space
  • 領域:數學
  • 貢獻者:黎曼
  • 性質:矢量空間
  • 空間量:度規張量
定義,黎曼空間的特例,

定義

若在n維矢量空間中有度規張量
,使得空間鄰近兩點
之間的距離由正定二次型
決定,則稱該矢量空間為黎曼空間。二次型
為黎曼空間的線元,
為黎曼空間的度規張量。定義曲線弧長的微分
而任一條曲線
的弧長為
在黎曼空間中,關於標量、矢量和張量的定義類似於仿射空間,其運算法則也相仿。對於兩個矢量a和b的逆變的標量積定義為
兩個矢量的長度(模)分別為
兩個矢量的夾角餘弦為

黎曼空間的特例

我們所熟悉的三維歐氏空間,以及將在狹義相對論中討論的四維閔柯夫斯基空間,都是黎曼空間的特例。在三維歐氏空間中,利用笛卡爾直角坐標系,令
,則空間鄰近兩點的距離平方公式為
則有相應的度規張量為
這表明:在笛卡爾直角坐標系中,度規張量分量與空間點位無關。採用球坐標系,令
,則空間鄰近兩點的距離平方公式為
因而,相應的度規張量為
可見,在三維歐氏空間中,若選用球坐標系(曲線坐標系),則度規張量是點位坐標的函式,隨點的位置變換而變化。
在閔柯夫斯基空間中,採用坐標系的一維時間坐標和三維空間坐標,建立四維時空關係。取坐標為
,則有不變距離公式為
式中,c為光速,坐標分量採用長度量綱,則有度規張量為
式中,
表示四維閔柯夫斯基度規。
在黎曼空間中,若通過選取適當的坐標系,是度規張量具有
的基本形式。則稱此空間為平坦的黎曼空間。

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