定義
拓撲空間是一個集合 X和其上定義的
拓撲結構組成的二元組
。X的元素 x通常稱為拓撲空間
的點。而拓撲結構一詞涵蓋了
開集,
閉集,
鄰域,
開核,
閉包,
導集,
濾子等若干概念。從這些概念出發,可以給拓撲空間
作出若干種等價的定義。
拓撲空間作為對象,連續映射作為
態射,構成了
拓撲空間範疇,它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變數來對這個範疇進行分類的想法,激發和產生了整個領域的研究工作,包括同倫論、同調論和K-理論。
設
是一個集合,
是一些
的子集構成的族,則(
,
)被稱為一個拓撲空間,如果下面的性質成立:
這時,
中的元素稱為點(point),
中的元素稱為開集(open set)。我們也稱
是
上的一個拓撲。
例子
實數集
R構成一個拓撲空間:全體開
區間構成其上的一組拓撲基,其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集
R上的開集是一組開區間的並(開區間的數量可以是無窮多個,但進一步可以證明,所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並)。從許多方面來說,實數集都是最基本的拓撲空間,並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解;但是也存在許多“奇怪”的拓撲空間,它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
更一般的,n維
歐幾里得空間R構成一個拓撲空間,其上的開集就由開球來生成。
任何
度量空間都可構成一個拓撲空間,如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間,如
泛函分析領域中的Banach空間和
希爾伯特空間。
任何
局部域都自然地擁有一個拓撲,並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的
向量空間。
除了由全體開區間生成的拓撲之外,實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲(lower limit topology)。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間[a,b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲;在這種拓撲空間中,一個點列收斂於一點,若且唯若,該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
流形都是一個拓撲空間。
每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的
凸集。在0、1、2和3維空間中,相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單純復形—來建立模型,參見
多胞形(Polytope)。
扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的的拓撲,這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對R或者C來說,相應扎里斯基拓撲定義的閉集,就是由全體多項式方程的解集合構成。
線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
泛函分析中的許多運算元集合可以獲得一種特殊的拓撲,在這種拓撲空間中某一類函式序列收斂。
有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上
空集,構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為
有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T
1拓撲。
可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集,構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
如果Γ是一個序數,則集合[0, Γ]是一個拓撲空間,該拓撲可以由區間(a,b]生成,此處a和b是Γ的元素。
構造
分類
依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。
以下假設X為一個拓撲空間。
分離公理
詳細資訊請參照
分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式,請參照分離公理的歷史。
拓撲不可區分性
X中兩個點x,y稱為拓撲不可區分的,若且唯若如下結論之一成立:
對X中每個開集U,或者U同時包含x,y兩者,或者同時不包含它們。
x的鄰域系和y的鄰域系相同。
可數公理
可分的
X稱為可分的,若且唯若它擁有一個可數的稠密子集。
第一可數
X稱為第一可數的,若且唯若其任何一個點都有一個可數的局部基。
第二可數
X稱為第二可數的,若且唯若其擁有一個可數的基。
連通性
連通
X稱為
連通的,若且唯若它不是兩個無交的非空開集的並。(或等價地,該空間的閉開集(既開又閉的集合)只有空集和全空間兩者)。
局部連通
X稱為局部連通的,若且唯若它的每個點都存在一個特殊的局部基,這個局部基由連通集構成。
完全不連通
X稱為完全不連通的,若且唯若不存在多於一個點的連通子集。
道路連通
X稱為道路連通的,若且唯若其任意兩點x和y,存在從x到y的道路p,也即,存在一個連續映射p:[0,1]→X,滿足p(0)=x且p(1)=y。道路連通的空間總是連通的。
局部道路連通
X稱為局部道路連通的,若且唯若其每個點都有一個特殊的局部基,這個局部基由道路連通集構成。一個局部道路連通空間是連通的,若且唯若它是道路連通的。
單連通
X稱為單連通的,若且唯若它是道路連通且每個連續映射{\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}都與常數映射同倫。
可縮
X稱為可縮的,若且唯若它同倫等價到一點。
超連通
X稱為超連通的,若且唯若任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。
極連通
X稱為極連通的,若且唯若任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。
平庸的
X稱為平庸的,若且唯若其開集只有本身與空集。
緊性
緊性
X稱為緊的,若且唯若其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。
林德洛夫性質
X稱為擁有林德洛夫性質,若且唯若其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。
仿緊
X稱為仿緊的,若且唯若其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。
可數緊
X稱為可數緊的,若且唯若其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。
列緊
X稱為可數緊的,若且唯若其任意點列都包含收斂子列。
偽緊
X稱為偽緊的,若且唯若其上的任意實值連續函式都有界。
可度量化
可度量性意味著可賦予空間一個度量,使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理,其中最著名的是
Urysohn度量化定理:一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的
流形皆可度量化。
擁有代數結構
對於任一類代數結構,我們都可以考慮其上的拓撲結構,並要求相關的代數運算是連續映射。例如,一個
拓撲群G乃是一個拓撲空間配上連續映射
(群乘法)及
(逆元),使之具備群結構。
同樣地,可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間,使得加法與純量乘法是連續映射,這是泛函分析的主題;我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。
結合拓撲與代數結構,往往可以引出相當豐富而實用的理論,例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中,人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論,並得到較簡明的陳述;如數論中的局部域(一種拓撲域),伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲(一種特別的拓撲群),以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲(一種拓撲環)等等。
擁有序結構
譜空間(spectral space)上的序結構。
分離公理描述
主要有下面幾條。
T1分離公理
空間內任何兩個不同的點都各有一個鄰域不含另一點。
豪斯多夫分離公理
(T2分離公理) 空間內任何兩個不同的點都各有鄰域互不相交。
正則分離公理
空間內每一點以及不含該點的任一閉集都各有鄰域互不相交。
全正則分離公理
對於空間x 內每一點x及不含x的任一閉集B,存在連續映射ƒ∶x→[0,1],使得ƒ(x)=0且對B內每一點y,ƒ(y)=1。
正規分離公理
空間內任何兩個不相交的閉集都各有鄰域互不相交。
滿足T1
分離公理的空間叫T1空間。滿足T2分離公理的空間叫T2空間或
豪斯多夫空間。一個T1空間如果還滿足正則分離公理或全正則分離公理或正規分離公理,則分別稱為正則空間,全正則空間和正規空間。各空間之間的蘊含關係可用“崊”表示如下:正規空間崊全正則空間崊正則空間崊T2空間崊T1空間。
度量空間以及下述的緊空間和仿緊空間都是正規空間。