四邊形餘弦定理

四邊形餘弦定理是由三角形餘弦定理推廣得到的定理

cosθ=(a^2+c^2-b^2-d^2)/2AC*BD

基本介紹

• 中文名：四邊形餘弦定理
• 提出者：布瑞須賴德爾
• 套用學科：數學
• 結論：托勒密不等式
• 來源：三角形餘弦定理

提出

四邊形的餘弦定理是由布瑞須賴德爾(Bretschnelder,1808-1878)發現的。

由四邊形的餘弦定理，立即得到托勒密不等式: a*c+b*d≥m*n

內容

四邊形的餘弦定理：:

設四邊形ABCD的邊長為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，對角線為m,n。

則

(m·n)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd·cos(A+C)①

證明

證明：

在AB,AD邊上向外作△AKB∽△CDA, △ADM∽△CAB, 則有

AK=ac/m,AM= bd/m,KB=DM=ad/m。

因為 ∠KBD+∠MDB=∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CAB=180°

所以KB∥DM，四邊形KBDM是平行四邊形，KM=BD=n。

在△AKM中，由餘弦定理得:

n^2=(ac/m)^2+(bd/m)^2-2(ac/m)×(bd/m)×cos(A+C) ②

對式②進行變形：

n^2=[ac^2×（1/m）^2]+[bd^2×（1/m）^2]-2[ac×（1/m）]×[bd×（1/m）]×cos（A+C）

兩邊同時乘以 m^2：

n^2×m^2=[（ac）^2×（1/m）^2]×m^2+[（bd）^2×（1/m）^2]×m^2-2[ac×（1/m）]×[bd×（1/m）]×cos（A+C）×m^2

(mn)^2=（ac）^2+（bd）^2-2·ac·bd·cos（A+C）

(mn)^2=（ac）^2+（bd）^2-2abcd·cos（A+C）

上式即為式①，即證。