BSD猜想

BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer 猜想），屬於世界七大數學難題之一。它描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯繫。

基本介紹

• 中文名：貝赫和斯維納通-戴爾猜想
• 外文名：Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
• 別稱：BSD猜想
• 提出者：貝赫,斯維納通-戴爾
• 提出時間：1960年代
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數論

猜想陳述

給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等於它的L函式在1處的零點階數，且它的L函式在1處的泰勒展開的首項係數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的周期以及沙群有精確的等式關係。

前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對於motif的Bloch-Kato猜想。

已知結果

BSD猜想的陳述依賴於莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群。精確的部分依賴於沙群的有限性猜想。

對於解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2以外均成立。

對於解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。

猜想的推論

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特等很多猜想。其中最著名的是與同餘數問題的關係，從BSD猜想可以推出模8餘5，6，7的無平方因子的正整數一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。