魔方陣

魔方陣

魔方陣,古代又稱“縱橫圖”,是指組成元素為自然數1、2、…、n2的平方的n×n的方陣,其中每個元素值都不相等,且每行、每列以及主、副對角線上各n個元素之和都相等。

基本介紹

  • 中文名:魔方陣
  • 外文名:magic matrix
  • 又稱縱橫圖,幻方
  • 組成:一組排放在正方形中的整數組成
  • 性質:行列上n個元素和都相等
  • 套用學科:數學
簡介,幻方簡史,楊輝縱橫圖,構造法,偶數階魔方陣,排列方法,

簡介

幻方,有時又稱魔方(該稱呼現一般指立方體的魔術方塊)或縱橫圖,由一組排放在正方形中的整數組成,其每行、每列以及兩條對角線上的數之和均相等。通常幻方由從1到N2的連續整數組成,其中N為正方形的行或列的數目。因此 N階幻方有N行N列,並且所填充的數為從1到N2
幻方可以使用N階方陣來表示,方陣的每行、每列以及兩條對角線的和都等於常數
,如果填充數為
,那么有
⒈何謂矩陣?矩陣就是由方程組的係數及常數所構成的方陣。把用在解線性方程組上既方便,又直觀。
⒉何謂n階方陣?若一個矩陣是由n個橫列與n個縱行所構成,共有n*n個小方格,則稱這個方陣是一個n階方陣。
⒊何謂魔方陣? 定義:由n*n個數字所組成的n階方陣,具有各對角線,各橫列與縱行的數字和都相等的性質,稱為魔方陣。而這個相等的和稱為魔術數字。若填入的數字是從1到n*n,稱此種魔方陣為n階正規魔方陣。
⒋最早的魔方陣相傳古時為了幫助治水專家大禹統治天下,由水中浮出兩隻龐大動物背上各負有一圖,只有大禹才可指揮其中之由龍馬負出的為河圖,出自黃河;另一由理龜負出的洛書出自洛河
⒌最早的四階魔方陣相傳是刻在印度一所廟宇石上,年代大約是十一世紀。古代印度人十分崇拜這種幻方,至今從古神殿的遺址,墓碑上常常還可以發現四階幻方的遺蹟。
⒍歐洲最早的魔方陣是公元1514年德國畫家Albrecht Dure在他著名的銅板畫Melencolia上的4×4幻方,有趣的是,他連創造年代(1514)也鑲在這個方陣中,而且上下左右,四個小方陣的和皆為34,是歐洲最古老的幻方。

幻方簡史

《繫辭》云:“河出圖,洛出書,聖人則之。”在宋朝之前,洛書的記述只有文字。
九宮圖實物最早發現於西漢,1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年(前173年)的太乙九宮占盤,乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。
後來陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宮圖,為
這9個數,而3行、3列以及兩對角線上各自的數之和均為15。

楊輝縱橫圖

南宋數學家楊輝著《續古摘奇算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖,書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法:“九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出,戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足”,比法國數學家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百餘年。

構造法

根據構造方法的不同,幻方可以分成三類:奇數階幻方、4M階幻方和4M+2階幻方,其中M為自然數,2階幻方不存在。幻方構造法主要有:連續擺數法階梯法(樓梯法)、奇偶數分開的菱形法、對稱法、對角線法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊爾法(基方、根方合成法)、鑲邊法、相乘法、幻方模式等。

偶數階魔方陣

  • n = 4k(4的整數倍時)
(1) 先將整個方陣劃分成k*k個4階方陣,然後在每個4階方陣的對角線上做記號;
(2) 由左而右、由上而下,遇到沒有記號的位置才填數字,但不管是否填入數字,每移動一格數字都要加1;
(3) 自右下角開始,由右而左、由下而上,遇到沒有數字的位置就填入數字,但每移動一格數字都要加1。
  • n = 4k + 2時
填制魔方陣時,先將整個方陣劃成田字型的四個2 k + 1階的奇數階小方陣,並以下法做註記
(1)右半兩個小方陣中大於k+2的列;
(2)左半兩個小方陣中( k + 1 , k + 1 )的格位;
(3)左半兩個小方陣中除了( k+1 , 1 )是指第一列第k+1行的格位之外,小於k +1的列。
以奇數階魔方陣的方法連續填製法依左上、右下、右上、左下的順序分別填制這四個小方陣。將上半及下半方陣中有註記的數字對調,魔方陣完成。

排列方法

魔方陣的排列規律如下:
⑴將1放在第一行中間一列;
⑵從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放;每一個數存放的行比前一個數的行數減1,列數加1(例如上面的三階魔方陣,5在4的上一行後一列);
⑶如果上一個數的行數為1,則下一個數的行數為n(指最下一行);例如1在第一行,則2應放在最下一行,列數同樣加1;
⑷當上一個數的列數為n時,下一個數的列數應為1,行數減去1。例如2在第3行最後一列,則3應放在第二行第一列;
⑸如果按上面規則確定的位置上已有數,或上一個數是第一行第n列時,則把下一個數放在上一個數的下面。例如按上面的規定,4應該放在第1行第2列,但該位置已經被占據,所以4就放在3的下面。

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