非完整系統

非完整系統

在古典力學裡,假如,一個系統有任何約束非完整約束,則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束

基本介紹

  • 中文名:非完整系統
  • 外文名:Nonholonomic system
  • 定義:一個系統有任何約束是非完整約束
  • 相關術語完整約束
  • 學科:古典力學
  • 領域力學
定義,廣義座標轉換,微分形式表示,半完整系統,實例,

定義

在古典力學裡,假如,一個系統有任何約束非完整約束,則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為
這裡,f是每一個粒子
之位置和時間的函式。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

廣義座標轉換

完整約束方程式與位置、時間有關,與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數xd是完整約束函式fk里的一個參數,現在指定除去 xd。重新編排上述約束方程式,求出表示xd的函式gk
將函式gk代入所有提到xd的方程式。這樣,可以除去所有指定變數xd
假設一個物理系統原本的自由度是N。現在,將h個完整約束作用於此系統。那么,這系統的自由度減少為m=N-h。可以用m個獨立廣義座標
來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下:
換句話說,由於非完整約束無法依照上述方法,來除去其所含廣義座標,完全描述非完整系統,所需要的廣義座標數目,大於自由度。

微分形式表示

約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第i個約束的微分形式的約束方程式:
這裡,
分別為微分
的係數。
假若此約束方程式是可積分的。也就是說,有一個函式
的全微分滿足下述等式:
那么,此約束是完整約束;否則,此約束是非完整約束。因此,所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以,假若知道一個約束的微分形式的約束方程式,這約束到底是完整約束,還是非完整約束,需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

半完整系統

表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此,非完整系統也比較難分析,只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如,一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示:
則稱此系統為半完整系統;這裡,
是廣義速度。
半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說,分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子
這裡,
是未知函式。
假設哈密頓原理成立,則下述方程式成立:
這裡,L是拉格朗日量
分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算,可以得到方程式
由於這N個廣義座標中,仍舊有n個不獨立廣義座標,不能將拉格朗日方程式提取出來;必須加入拉格朗日乘子項目:
經過變分法運算,可以得到方程式
這裡,
廣義力的j分量:
雖然還有n個不獨立廣義座標,仍舊可以調整n加入的拉格朗日乘子,使總和公式內的每一個虛位移
的係數都等於0。因此,
這N個方程式加上n個約束方程式,給予了N+n個方程式來解N個未知廣義座標與n個拉格朗日乘子。

實例

非完整系統至少存在於以下三個狀況:
  1. 物體在做滾動運動。
  2. 系統的約束包括不等式
  3. 系統的約束與速度有關(例如普法夫約束)。

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