阿基米德方法

阿基米德方法

一種科學的解決問題的方法。一種化大量為小量的方法。具體思路:要計算一個未知量(圖形的面積、體積等),先將它分成許許多多的微小量(如將面分成線段,將體積分成薄片等),再用另一組微小量來和它比較.通常是建立一個槓桿,找一個合適的支點,使前後兩組微小量取得平衡.再將後一組微小量集合起來,它的總體應該是較易計算的.於是通過比較,即可求出未知量來.這實質上就是積分法的基本思想.

基本介紹

  • 中文名:阿基米德方法
  • 提出者:J.L.海伯格
  • 提出時間:1906年
  • 實質:積分法的基本思想
概述,發現及其內容,《方法》簡介,思想方法,中心思想,成就,

概述

發現及其內容

1906年,哥本哈根大學古典哲學教授J.L.海伯格(Heiberg,1854—1928)在土耳其君士坦丁堡(現稱伊斯坦堡)仔細觀看一部擦去舊字寫上新字的羊皮紙書①,舊的字跡幸好沒有擦乾淨可以判定是10世紀時寫上去的.擦掉之後,大約在13世紀時寫上一大堆東正教的祈禱文和禮拜儀式,作為中世紀的宗教文獻保存了下來.舊的字跡隱約可辨,海伯格驚喜地發現這是阿基米德的著作,因為在別處見過.於是用攝影等技術使舊字跡重現,1908年再一次去進行工作,經過不懈的努力,終於使 185頁的文字(除少數完全看不清者外)重見天日.其中包活《論球與圓柱》及《圓的度量》、《平面圖形的平衡或其重心》的一部分.還有《論浮體》的相當一部分,過去一直認為希臘文本已失傳,只有莫貝克(William of Moerbeke,約1230—1286)的拉丁文譯本存下來,現在居然得到希臘文原本,雖然也還不是全部.更令人興奮的是有一封阿基米德寫給埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信,還是初次看到.這是本世紀數學史料的重大發現.
這封信主要講如何根據力學原理去發現解決問題的方法。這封信里,阿基米德把一塊面積或體積看成是有重量的東西,分成許多非常小的長條或薄片,然後用已知面積或體積去平衡這些“元素”,找到了重心和支點,所求的面積或體積就可以用槓桿定律計算出來。他把這種方法看作是嚴格證明前的一種試探性工作,得到結果以後,還要用歸謬法去證明它。
這封信後來刊行於世,就是《阿基米德方法》。

《方法》簡介

《方法》包括15個命題.一開頭是寫給埃拉托塞尼的信用來說明本篇的主要內容,相當於序言.下面,以命題1為例,闡明阿基米德的思想方法.為了便於了解,暫用現代的術語和符號來推導.

思想方法

設D是拋物線弧ABC的弦AC的中點,過D作直線平行於拋物線的軸OY,交拋物線於B.證明:拋物弓形ABCD的面積等於△ABC面積的 4/3.
阿基米德方法
當時已經知道過B的切線平行於AC,即B是弓形的頂點(在ABC弧上與AC距離最遠的點).命題結論的另一種說法是:
拋物弓形的面積,是等底等高的三角形的4/3.
用解析幾何來分析,設拋物線方程是:y=ax^2 (1)
A,C的橫坐標分別是x1x2
則AC的方程是:y=ax1x+ax2x-ax1·x2(2)
過C點的切線CF的方程是:y=2ax2x-ax2^2 (3)
延長DB交CF於E,不難證明,B是ED的中點.事實上,將D,B,E的橫坐標 (x1+x2)/2 分別代入(2)、(1)、(3)式,可得三者的縱坐標,依次是:yD=a(x1^2+x2^2)/2,yB=a[(x1+x2)/2]^2,yE=ax1·x2
由此知B是D、E中點.
作AF//OY,交CF於F.延長CB交AF於K,則K是FA的中點.再取KH=KC,過AC上任意點M作MQ//OY,交CK於P,交CF於Q,交拋物線於N.將M的橫坐標x0分別代入(2)、(1)、(3),得M,N,Q的縱坐標:
yM=ax1·x0+ax2·x0-ax1·x2
yN=ax0^2
yQ=2ax2·x0-ax2^2
於是有:
上面推出的幾個性質,有的前人已證明,有的阿基米德在別處已證明,在這裡是作為已知條件來使用的.例如:1)過D且平行於軸的直線必過弓形的頂點B,且B是ED中點,在歐幾里得以及阿里斯泰奧斯(Aristaeus,約公元前340年)的圓錐曲線論中已證明,在阿基米德的《拋物線圖形求積法》命題 1,2中也討論過;2)MQ∶MN=AC∶AM是同一篇論文的命題5.
阿基米德方法
下面才是阿基米德巧妙的根據力學原理去探索真理的方法:
假想各線段都是有重量的,而且重量和長度成正比.又HP是一根以K為支點的槓桿.因為MQ∶MN=HK∶KP,如果將MN放在H點,就可以和位於槓桿另一端的MQ平衡,P是MQ的重心.這關係對於任意的M都成立.弓形可以看作由許多這樣的MN線段所組成,而△AFC由許多的MQ線段所組成.如果將所有的MN(也就是整個弓形)都放在H上(以H為重心),就可以和△AFC平衡.弓形的重量可以看作完全集中在H點,而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上,這重心位於中線KC上,與K的距離是KC(=KH)的1/3,故弓形重量(即面積)是△AFC重量(即面積)的1/3.又△AFC=4△ABC,故知弓形ABCD的面積是△ABC的4/3.

中心思想

《方法》的中心思想,是要計算一個未知量(圖形的面積、體積等),先將它分成許許多多的微小量(如將面分成線段,將體積分成薄片等),再用另一組微小量來和它比較.通常是建立一個槓桿,找一個合適的支點,使前後兩組微小量取得平衡.再將後一組微小量集合起來,它的總體應該是較易計算的.於是通過比較,即可求出未知量來.這實質上就是積分法的基本思想.阿基米德的睿智,業已伸展到17世紀中葉的無窮小分析領域裡去了!因此,稱他為近代積分學的先驅,毫不為過.當然,和積分法還有相當大的差距.表現在:1)沒有說明微小量(或元素)是有限的還是無窮多,這在古希臘時代是不可能解決的問題;2)沒有極限的思想,現代的積分,是一個極限值而不是一個簡單的和;3)就事論事,沒有形成抽象的概念及一般的法則.

成就

阿基米德運用這種富有啟發性的方法,獲得大量的輝煌成果,為後人開闢了一個廣闊的領域.本篇後面的命題都是用類似的方法取得的.比較著名的的命題有:
命題2.球體積是以此球的大圓為底、以球的半徑為高的錐體體積的4倍.
命題34及其推論.以球的大圓為底、球的直徑為高的圓柱的體積是球體積的3/2倍.(也就是刻在阿基米德墓碑上的那個)
此外還有旋轉橢圓體體積,旋轉拋物線體體積及重心,半球的重心,以及相當複雜的圓錐體與球的交截體(兩種立體相交的公共部分)等問題.在今天,只有用積分法才能解決,而阿基米德獨闢蹊徑,創立新法,取得正確的結果,使後人驚嘆不已.

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