閉線性運算元

閉線性運算元(closed linear operator)是一種特殊的線性運算元,常直接稱為閉運算元。連續線性運算元必是閉運算元,但閉運算元不一定是連續運算元。根據閉圖像定理可知,定義域是閉子空間的閉運算元是連續運算元。

基本介紹

  • 中文名:閉線性運算元
  • 外文名:closed linear operator
  • 別名:閉運算元
  • 等價條件:圖像是閉集
  • 出處泛函分析
  • 套用領域魯棒控制
  • 定義:特殊的線性運算元
定義,性質,套用-閉圖像定理,拓展,

定義

定義1(閉線性運算元)設X,Y均為Banach空間,T是
線性運算元。對於任意的
,若由
可得
,且
,則稱T為閉線性運算元,簡稱閉運算元
註:每個連續線性運算元T都可以將定義域
延拓
閉包上,因此每個連續線性運算元T都可以看成是有閉定義域的,於是每個連續線性運算元必是閉運算元;但一般的閉線性運算元不一定是連續運算元(下面的例1證實了這一說法)。
例1 考察微分運算元
,它是定義在
上,取值於
線性運算元。取函式
,則
因此T是無界運算元,從而不是連續運算元。下證T是閉運算元。設
則對
另一方面,
所以,
定義2(線性運算元的圖像)令T是定義在
上到Y的線性運算元,稱
為T的圖像。
註:
線性子空間

性質

上面定義的閉線性運算元有一個重要性質,即T的圖象
為乘積空間
的一個閉線性子空間。定理描述為:
定理1 T是閉運算元的充分必要條件
為閉集。
證明:(1)必要性
. 因為T是閉運算元,則
,於是
,故
是閉集。
(2)充分性
是閉的,若
,那么
這表明

套用-閉圖像定理

定理2(閉圖像定理設X,Y均為Banach空間,T是
線性運算元
是X中的閉集。若
中閉集,則T是連續的。
證:該定理的證明參見參考文獻[1] 的291-292頁。
由定理1可知,定理2還可敘述成:在定理2的條件下,若T是閉運算元,則T是連續的。因此定義域是閉子空間的閉運算元是連續運算元。

拓展

閉線性運算元原是泛函分析中的概念,後被引入魯棒控制中討論系統的不穩定攝動問題。經研究發現,控制系統中一個對象的傳遞函式P(s)(n×m階實有理矩陣),若僅在有限功率譜輸入與輸出情況下考慮,實際上等於引入了一個從輸入空間H2到輸出空間H2的閉線性運算元,這一結論為在魯棒控制中引入隔撲(Gap)概念討論系統的不穩定攝動打下了基礎。

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