鏡面反射變換

鏡面反射變換(mirror reflection transformation)簡稱鏡面反射或平面反射，歐氏空間中的一種特殊變換。在歐氏空間中，把任一點A映成關於給定平面π對稱的點A′的變換稱為關於平面π的鏡面反射變換，平面π稱為反射平面。鏡面反射是第二種正交變換，在鏡面反射變換下，連結變換的每一對對應點A，A′所得到的線段都垂直於反射平面π且被π所平分，平面π上的點都是不動點，鏡面反射變換在直觀上相當於把平面π看做一面鏡子，變換前後的對應點就好比是物與像那樣。

基本介紹

• 中文名：鏡面反射變換
• 外文名：mirror reflection transformation
• 簡稱：鏡面反射或平面反射
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(歐幾里得空間)
• 別稱：非特徵正交變換，第二類正交變換

基本介紹

鏡面反射(mirror reflection)亦稱非特徵正交變換，又稱第二類正交變換，一種特殊的正交變換。設V是歐氏空間，α是V的非零向量。對任意的β∈V，由

決定的變換是滿足的正交變換，稱為由向量α決定的鏡面反射，其中為單位變換。若V是n維歐氏空間，則存在V的標準正交基，使鏡面反射τ在此基下的矩陣為

在歐氏空間中，把任一點A映成關於給定平面π對稱的點A′的變換稱為關於平面π的鏡面反射變換，平面π稱為反射平面。在空間直角坐標系中，若把坐標平面xOy取為反射平面，則鏡面反射變換的代數表達式為

其中(x，y，z)，(x′，y′，z′)分別是變換前的點與變換後它的對應點的坐標。

第二類正交變換

在解析幾何中，正交變換就是保持點之間的距離不變的變換，在一般的歐氏空間中也可引入正交變換的概念。

正交變換歐氏空間V的線性變換稱為正交變換，如果，有

因為正交矩陣是可逆的，所以正交變換是可逆的。由定義不難看出，正交變換實際上就是一個歐氏空間到它自身的同構映射，因而正交變換的乘積以及正交變換的逆變換也是正交變換。在標準正交基下，正交變換與正交矩陣對應，因此，正交矩陣的乘積與正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣，如果U是正交矩陣，那么由可知，正交變換的行列式等於+1或者-1，行列式等於+1的正交變換通常稱為旋轉，或者稱為第一類的正交變換；行列式等於-1的正交變換稱為第二類的正交變換。例如，在歐氏空間中任取一組標準正交基，定義線性變換為：，那么，就是一個第二類的正交變換，從幾何上看，這是一個鏡面反射。

定理1 歐氏空間V的線性變換是正交變換的充要條件是，有。

定理2 若V是n維歐氏空間，，則下列條件等價：

(1)是正交變換；

(2)若是V的標準正交基，則也是V的標準正交基。

(3)在V的任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣。