鏈式法則

鏈式法則

鏈式法則是微積分中的求導法則,用於求一個複合函式的導數,是在微積分的求導運算中一種常用的方法。複合函式的導數將是構成複合這有限個函式在相應點的 導數的乘積,就像鎖鏈一樣一環套一環,故稱鏈式法則。

基本介紹

  • 中文名:鏈式法則
  • 外文名:chain rule
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:微積分
  • 適用領域範圍:微分(求導)
介紹,基本信息,例題,

介紹

鏈式法則是求複合函式的導數(偏導數)的法則,若 I,J 是直線上的開區間,函式 f(x) 在 I 上有定義
處可微,函式 g(y) 在 J 上有定義
,在 f(a) 處可微,則複合函式
在 a 處可微 (
在 I 上有定義),且
. 若記 u=g(y),y=f(x),而 f 在 I 上可微,g 在 J 上可微,則在 I 上任意點 x 有
,或寫出
這個結論可推廣到任意有限個函式複合到情形,於是複合函式的導數將是構成複合這有限個函式在相應點的 導數的乘積,就像鎖鏈一樣一環套一環,故稱鏈式法則。

基本信息

若多元函式 u=g(y1,y2,...,ym) 在點 𝒃=(b1,b2,...,bm) 處可微,bi=fi(a1,a2,...,an)(i=1,2,...,m),每個函式 fi(x1,x2,...,xn) 在點 (a1,a2,...,an) 處都可微,則函式 u=g(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn)) 也在(a1,a2,...,an) 處可微,且
這就是多元函式的鏈式法則,若同時考察一組(p 個)複合函式 u1,u2,...,up,其中 uk=gk(fi(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))(k=1,2,...,p),將它們的偏導數寫成矩陣(雅可比矩陣),則可以看到鏈式法則在形式上更有規律性,這時
若對於上面考察的這些函式,令 𝐠=(g1,g2,...,gp),𝒇=(f1,f2,...,fm),於是,𝐠 是 p 維向量值函式(定義與 𝑹m 的子集上),𝒇 是 m 維向量值函式(定義於𝑹n 的子集上),按照定義,它們的導數是相應的雅可比矩陣
(等式右端為兩矩陣𝐠‘ (𝒇 (𝒂)) 與𝒇‘ (𝒂) 的矩陣乘積),其中𝒂=(a1,a2,...,an).這就是向量值函式的鏈式法則,它在形式上與一元函式的鏈式法則完全相同。

例題

求導
鏈式求導:令
即可求得。
在實際套用中,可將
看作是分數的約分過程,這種用法在求不定積分中會更廣泛地使用。

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