錯位加法

錯位加減法

數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。

28、分組法求數列的和：如an=2n+3n

29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂項法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求數列{an}的最大、最小項的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函式f(n)的增減性如an=

33、在等差數列中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當 >0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.

(2)當 <0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。

在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的套用。

求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

當x=1時，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；

當x不等於1時，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

兩式相減得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；

化簡得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

兩邊同時乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，這樣寫看的更清楚些）

兩式相減

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

錯位相減法是求和的一種解題方法。在題目的類型中：一般是a前面的係數和a的指數是相等的情況下才可以用。這是例子（格式問題，在a後面的數字和n都是指數形式）：

S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）

在（1）的左右兩邊同時乘上a。得到等式（2）如下：

aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）

用（1）—（2），得到等式（3）如下：

（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）

（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

S=a+a2+a3+……+an-1+an用這個的求和公式。

（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

最後在等式兩邊同時除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。