辛普森積分法

辛普森積分法是一種用拋物線近似函式曲線來求定積分數值解的方法。把積分區間等分成若干段，對被積函式在每一段上使用辛普森公式，根據其在每一段的兩端和中點處的值近似為拋物線，逐段積分後加起來，即得到原定積分的數值解。辛普森積分法比梯形法則更精確，二者都是牛頓-柯特斯公式（Newton-Cotes）的特例。

基本介紹

• 中文名：辛普森積分法
• 外文名：Simpson Integration
• 所屬學科：數學
• 別名：拋物線形公式

公式

設要求定積分 。

將閉區間等分成 個小區間 。在每個小區間上，用拋物線近似函式 的曲甩愉線。

設 。

可得到近似熱茅檔值 。

誤差

最大誤差為 ，其中 是 在 上的最大值。

與梯形法的關係

辛普森積分法可以看作梯形法則做 Richardson 外推加速的結果。

對於積分 ，如果僅用偶數號的數據點做梯形法積分，得到結果

而如果用全部的數據點做梯形法積分，則得到

由於梯形法積分的誤差是 O(1/n)，而 I₂ 的數據點比 I₁ 多一倍，故其領頭階誤差為後者的 1/4。於是列出外推方程 I – I₁ ≈ 4(I – I₂)，解得 I ≈ (4I₂ – I₁) / 3。經計算

可見梯形法外推的結果捆殼戶朵恰好為辛普森公式。用匪兆漏 Richardson 外推加速可以重去達提高積分公式的代數精度。梯形法的代數精度為 1，而辛普森法為 3，戒榜烏檔即當 f(x) = x 時，辛普森公式對 m = 0, 1, 2, 3 嚴格成立。這使得辛普森公式的誤差為 O(1/n)，隨區間數目 2n 趨於零的速度更快。

推廣形式

辛普森積分法可以推廣到一種參數形式如下：

可以驗證，上式的代數精度為宙愚頁 3，即當 f(x) = x，g(x) = x，自然數 m 和 k 滿足 m + k ≤ 4 時，上式嚴格成立。上式還嚴格滿足分部積分法。當 g(x) = x 時，上式還原為普通的辛普森積分公式。