複變函數逼近論(數學分支)

簡介

複變函數逼近論是複平面集合上某個比較廣泛的函式類中的函式被此集合上比較窄的函式類中的函式逼近的理論。這裡比較廣泛的函式類是指連續函式類、解析函式類等，比較窄的函式類是指多項式類、有理函式類等。

複變函數逼近論從20世紀的發展情況來看，大致有如下四個方向：

1.能否被逼近到任意預先給定的程度。這裡“逼近”一詞有一致逼近、按區域面積平均逼近、按區域邊界平均逼近，以及加權逼近等不同的意義。

2.定性問題，即一個函式被比較窄的函式類中的一些子類（例如n次多項式、n階有理函式類等）逼近時，最小偏差函式的存在性、惟一性以及其特徵性質等。

3.定量問題，若最小偏差函式存在，則需討論所能達到的逼近速度以及由此速度來研究被逼近函式的構造性質。

4.制定一些算法，以求逐步達到最小偏差函式；此外，還需研究這些算法本身的誤差及收斂的速度。

複變函數逼近論既有廣泛的實際背景例如數字濾波器的設計、保角映射的近似計算、某些軟體的實現等，也有其本身的理論問題。

由於複平面上點集的複雜性，使得複變函數逼近會比實變函式逼近產生更多的難處，但得到的結果也在某種意義下顯得更深刻。