萊布尼茨公式(含參變數常義積分中的Leibniz公式)

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萊布尼茨公式給出了含參變數常義積分在積分符號下的求導法則。萊布尼茨是德國自然科學家,客觀唯心主義哲學家,啟蒙思想家。生於萊比錫,死於漢諾瓦。早年就讀於萊比錫大學,於1663年獲得學士學位。1667年又獲阿爾特多夫大學法學博士學位。曾任美因茨選帝侯的外交官、宮廷顧問、圖書館長等職。1770年當選為英國皇家學會會員。

基本介紹

  • 中文名:萊布尼茨公式
  • 外文名:Leibniz's Law
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:積分
  • 性質:求導法則
概念,微分法,人物簡介,

概念

我們先定義積分的連續性。若函式
在有界區域
內有定義並且是連續的,則
是在閉區間
上的連續函式。如果一個函式
滿足上述條件,且偏導數
在區域
內連續,則當
時成立Leibniz公式
在更一般的情況下,當積分的下限和上限為參數
的可微函式
,並且當
,則有
。說的通俗易懂一些,就是用關於參數y的積分上下限函式替換被積函式中的積分變數x。

微分法

數學中,微分是對函式的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時,函式的值是怎樣改變的。當某些函式f的自變數x有一個微小的改變h時,函式的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分,另一部分是比h更高階的無窮小,這種表示方法成為微分法
在古典的微積分學中,微分被定義為變化量的線性部分,在現代的定義中,微分被定義為將自變數的改變數
映射到變化量的線性部分的線性映射
。這個映射也被稱為切映射。給定的函式在一點的微分如果存在,就一定是唯一的。
在數學中,微分是對函式的局部變化率的一種線性描。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時,函式的值是怎樣改變的。當某些函式
的自變數
有一個微小的改變
時,函式的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分:在一維情況下,它正比於自變數的變化量
,可以表示成
和一個與
無關,只與函式
有關的量的乘積;在更廣泛的情況下,它是一個線性映射作用在
上的值。另一部分是比
更高階的無窮小,也就是說除以
後仍然會趨於零。當改變數
很小時,第二部分可以忽略不計,函式的變化量約等於第一部分,也就是函式在
處的微分,記作
。如果一個函式在某處具有以上的性質,就稱此函式在該點可微。
不是所有的函式的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函式在某一點無法做到可微,便稱函式在該點不可微。
設函式
在某區間
內有定義。對於
內一點
,當
變動到附近的
(也在此區間內)時,如果函式的增量
可表示為
(其中
是不依賴於
常數),而
是比高階的無窮小,那么稱函式
在點
是可微的,且
稱作函式在
相應於自變數增量
的微分,記作
,即
的線性主部。
通常把自變數
的增量
稱為自變數的微分,記作
,即

人物簡介

德國自然科學家,客觀唯心主義哲學家,啟蒙思想家。生於萊比錫,死於漢諾瓦。早年就讀於萊比錫大學,於1663年獲得學士學位。1667年又獲阿爾特多夫大學法學博士學位。曾任美因茨選帝侯的外交官、宮廷顧問、圖書館長等職。1770年當選為英國皇家學會會員。同年,創建了德國科學院,擔任該院第一任院長。曾旅遊英、法、荷等國。主要著作有:《人類理智新論》(1765年)、《神正論》(1710年)、《單子論》(1714年)、《刑而上原論》,以及若干論文和大量信件。20世紀70年代,柏林科學院出版了17卷的《萊布尼茨著作與書信全集》。成就是多方面的。在數學上,與牛頓並稱為微積分的創始人,改進了帕斯卡的加法器,設計並製造了一種手搖的演算機,提出了自認為是和中國“先天八卦”相吻合的二進制,影響了後代計算技術的發展。在邏輯學上,最先提出充足理由律,是數理邏輯的先驅。在哲學上,建立了客觀唯心主義體系的“單子論”。在認識論上,是唯心主義的先驗論。在政治法律思想上,主張天賦人權,強調人的理性,認為自然法是理性的規範。萊布尼茨的自然法乃至國家理論,法律理論是同自然、宗教、道德及神內在地結合在一起的。認為人的道德生活在於求得自己本質的漸次的展開,經過整體不斷的理性努力,使人達到更大的完善。在“自我完善”倫理生活中,存在著一切道德的、社會的規範的根據——自然道德法則。這種自然道德法則是法律和國家的根本原理。國家的形成是基於人類自然的素質,是憑藉理性的認識而合理生成的。與社會形成的發展相適應,將自然法分成三個階段:第一個階段,在自然狀態中,把自然法可看作為“平均的正義”或“交換的正義”,它要求不侵犯他人,人人自由平等、互相尊重。為了人類的共同福利,需要相互限制任意行使的自然權利,由自然狀態進入國家狀態。第二個階段,在國家狀態下,自然法實現了“分配正義”的統治,其明晰的意識和合理的認識得到進一步的提高。這時的國家是法律上的統一的人格,它有其超出君主和人民的變更的永久性。理想的政體形式是“開明君主制”。認為,人民有服從君主的義務,亦有反抗君主的權利。國家的目是保證“人的完美”和共同幸福的實現。自然法的第三個階段,亦是最高階段,即進入“普遍正義”。這時的國家是人類社會最高的最完善的國家形式——“普遍國家”。萊布尼茨的學說影響了康德、黑格爾、費希特的思想。

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