自然推理系統(axiomatic system of natural deduction)一種謂詞演算公理系統。所謂自然推理系統，是指不含任何公理、只含規則的推理系統。除了重複規則Rep外，每個連線詞符號一般都有I規則(引人連線詞符號)和E規則(消去連線詞符號)；對於命題常元符號，T有I規則，⊥有E規則。
基本介紹
- 中文名：自然推理系統
- 外文名：natural deduction system
- 所屬學科：數學
- 相關概念：自然演繹、命題、推理規則等
基本介紹,基本規則,例題解析,
基本介紹
演繹邏輯的核心問題:一是判定問題，即如何判定推理有效；二是推導問題，即如何進行有效推理。演繹邏輯系統要同時解決這兩個問題，既要為判定推理是否邏輯有效提供檢驗方法或程式，又要為如何邏輯有效地推理提供推理規則。從給定的前提出發，運用推理的有效式即根據推理規則所進行的推理，稱為自然推理(亦稱為自然演繹)。自然推理不預設公理，只是根據推理規則，從給定的前提出發得出結論。自然推理是一個命題形式序列，每項或者是給定的前提，或者是從前面的命題形式運用推理的有效式即根據推理規則所得到的。現代邏輯證明，在命題邏輯中，只要運用少數幾種基本的有效式或基本的推理規則，就可以推出一切能夠推出的結論。因此，只要掌握少數幾種基本的有效式，就可以以這些基本的有效式作為基本的推理規則，構成自然推理系統，從而解決推理有效性的判定問題和推導問題。
自然推理系統主要由一組推理規則(這組規則相當於一組推理模式)構成。這組規則構成的系統應當具有可靠性和完全性。自然推理系統中的推理規則是自然推理規則，是指導有效推理的規則，根據這些規則就可以從給定的前提進行有效的推導。運用自然推理系統判定某個推理是否有效，只需考察從給定的前提出發，僅僅根據系統內的推理規則能否推出給定的結論。換句話說，一個推理是有效的，若且唯若從給定的前提出發得到了給定的結論，而且推理的每一步都是按系統內的推理規則進行的。建立自然推理系統，其核心問題在於給出組推理規則。建構推理規則的考慮是很多的。這裡只提出兩個最基本的建構準則，它們管轄一切推理規則:一是可靠性準則，即這組推理規則必須使我們只能推出那些可從前提合乎邏輯地得出的結論。即用推理規則進行或產生的推理必須都是邏輯有效的，推理規則不得放過或產生邏輯無效的推理。二是完全性準則，即這組推理規則必須使我們能推出所有可以從前提合乎邏輯地得出的結論，即所有邏輯有效的推理都能由該組推理規則產生或構造(推演)出來。應當指出的是，這裡構造的自然推理系統在相應的語義解釋下既是可靠的又是完全的。可以證明:任何一條邏輯公理都可以用一條或一組推理規則代替，反之亦然。這表明邏輯公理和推理規則在刻畫邏輯聯結詞的邏輯性質方面是等價的，自然推理系統與公理系統具有同等的判定能力和演繹推理能力。
基本規則
自然推理系統的基本規則如下:
前提引人規則(P規則):在推理的任何一步都可以引人給定的前提。
重言蘊涵規則(T規則):如果在推理中有一些在先的命題，使得它們的合取合乎邏輯地得出
,那么，我們就可以在推理中引人命題β。
間接推理規則(R.A.A規則):如果從一組前提和命題β的否定導出矛盾，那么β可從這組前提合乎邏輯地推出。
前提引人規則(P規則):在推理的任何一步都可以引人給定的前提。
重言蘊涵規則(T規則):如果在推理中有一些在先的命題，使得它們的合取合乎邏輯地得出
間接推理規則(R.A.A規則):如果從一組前提和命題β的否定導出矛盾，那么β可從這組前提合乎邏輯地推出。
在上述PN系統中，把R.A.A規則作為基本規則，而把條件證明規則(C.P規則)作為導出規則。即如果能從一組前提和α推出β,就可以從這組前提推出α→β。
P規則允許我們在需要的時候隨時引進給定的前提。當然，如果在推理中用到某個前提，但沒有明確承認它是前提，則犯了嚴重的邏輯錯誤。T規則允許我們 一步步地連續使用推理有效式。根據推理有效式進行推理，就是合乎邏輯地得出結論，其前提邏輯蘊涵結論，結論是前提的邏輯後承。每 一個推理有效式都存在一個相應的邏輯推理規則，它不過是T規則的特例。T規則是對直接推理的邏輯推演模式的概括。R.A.A規則是利用矛盾的推理規則(即歸謬法規則reductioadabsurdum)。運用R.A.A規則就是把它的結論的否定假定為一個補充的前提，然後從擴充的前提導出矛盾。如果加人這一假定導出了矛盾，那么該假定是不成立的。R.A.A規則是對間接推理的推演模式的邏輯概括。
還有兩個重要的規則，它們是代人規則與置換規則。在推理的任何一步，重言式中的任何命題變項都可以用其他命題形式代人，代人須處處進行，代人後得到的仍為重言式，這是代人規則。在推理的任何一步，命題形式中的任何部分都可以用與之等值的命題形式置換，置換不必處處進行，置換後得到的命題形式與原式等值，這是置換規則。它們是重言蘊涵規則的特例，因而是導出規則。在推導中不必特別指出，註明T規則即可。
例題解析
例1 某保密機關發生了失密案件。偵查機關掌握了如下事實:
①失密的人或是甲或是乙。
②如果甲失密，那么失密時間不會在當天零點之前。
③零點時保密室燈滅了，但甲此時未回家。
④若乙的證詞真實，則失密時間在當天零點之前。
⑤只有零點時保密室燈光未滅，乙的證詞才不真實。
偵查機關根據上述情況很快查到了失密者。問:誰是失密者?
用符號表示簡單命題如下:
A:甲失密。
B:乙失密。
C:失密時間在零點之前。
D:零點時保密室燈滅了。
E:甲零點時未回家。
F:乙的證詞真實。
前提為:
。
從這些前提出發，可進行下述推理:
①A∨BP
②A→
C P
③D∧EP
④F→CP
⑤ D→ FP
⑥D→F5T
⑦D→C4,6T
⑧D 3T
⑨C 7,8T
⑩¬A 2,9T
⑪B 1,10T
最後一行表明:從前提推出的結論是B,即乙是失密者。
例2某辦公室里發生一起兇殺案。公安機關掌握了以下情況:
①如果E在現場，那么A和C不可能都不在現場;
②如果B不在現場，那么A也不可能在現場;
③或者C不在現場，或者B在現場;
④除非E在現場，D才在現場;
⑤D在現場。
問:公安機關根據上述情況能得出什麼結論?
用符號表示簡單命題如下:
例2某辦公室里發生一起兇殺案。公安機關掌握了以下情況:
①如果E在現場，那么A和C不可能都不在現場;
②如果B不在現場，那么A也不可能在現場;
③或者C不在現場，或者B在現場;
④除非E在現場，D才在現場;
⑤D在現場。
問:公安機關根據上述情況能得出什麼結論?
用符號表示簡單命題如下:
A:A在現場。
B:B在現場。
C:C在現場。
D: D在現場。
E:E在現場。
推理如下：
①E→ ( A∧ C) P
② B→ A P
③ C∨B P
④ E→ D P
⑤D P
⑥E 4,5T
⑦ （ A∧ C） 1,6T
⑧A∨C 7T
⑨A→B 2T
⑩C→B 3T
⑪B 8,9,10T
結論：B在現場。
⑦
