能量法(energy method)又稱能量原理。在固體力學中，把功與能量相關的一些原理和方法統稱為能量法，具體有互等原理、卡式原理、虛功原理、單位載荷法及摩爾積分法等等。
其對結構的變形計算及超靜定結構的求解起著重要的作用，特別是近些年來隨著計算力學的興起，使得能量法更加受到重視。
基本介紹
- 中文名：能量法
- 外文名：energy method
- 解決問題：構建變形，超靜定解構
- 套用領域：固體力學，靜力學
- 別名：能量原理
應變能,常用的能量法,互等定理,卡氏定理,虛功原理,單位載荷法,摩爾積分法,意義,
能量法（energy method）是對互等原理、卡式原理、虛功原理、單位載荷法及摩爾積分法等眾多與功和能量相關方法的統稱，是固體力學中的一種重要方法，常用來解決彈性構件的靜力學問題。
其對構件的變形計算及超靜定結構的求解起著重要的作用，而且能量法形式統一、方程固定的優點使其適應於編程計算，隨著計算力學的崛起，能量法更加受到重視。
應變能
固體力學中元件的能量主要指應變能，彈性體在受力發生拉伸、壓縮、剪下、扭轉及彎曲等變形時，外力做功會轉化為元件的變形能儲存起來，且應變能
在數值上等於外力所做的功
，即：
。而且彈性固體的應變能是可逆的，即當外力逐漸解除時、變形逐漸消失時，彈性固體又可釋放出全部的變形能而做功，由於靜力學中的施力與變形均為假想的緩慢過程，故忽略了變形過程中的能量損失（生熱等）。
應變能的統一形式的公式為：
其中，
為應變能密度，
為廣義應力（力，矩），
為廣義應變（正應變，切應變）。
但根據各種變形不同的特徵，每種變形都對應 各自的應變能公式。
(1) 拉伸和壓縮：
，其中，
為拉壓彈性模量（楊氏模量），
為橫截面積，
為軸力。
(2)扭轉：
，其中，
為扭矩，
為抗扭剛度，
為極慣性矩。
(3)彎曲：
，其中，
為
處的彎矩，
為對中性軸的慣性矩。
常用的能量法
在固體靜力學的研究過程中，互等原理、卡式原理、虛功原理、單位載荷法及摩爾積分法等均為常用的能量法，其對構件的變形計算及超靜定結構的求解起著重要的作用。
互等定理
對於線性結構，套用應變能的概念，可以導出功的互等定理和位移互等定理。它們在構件的結構分析中起著重要作用。
對某線彈性體，先於A點施加力
，引起A位移為
，再於B點施加力
，引起B位移為
，同時又引起A位移為
；若施力順序改變，先於B點施加力
，引起B位移為
，再於A點施加力
，引起A位移為
，同時又引起B位移為
，因兩次施加力的情況完全一樣，故兩次做功相等。
第一次做功：
；第二次做功：
所以，有
，即：第一組力在第二組力引起的位移上所做的功等於第二組力在第一組力引起的位移上所做的功，這就是功的互等定理。
若
，就能得到
，即： 作用點由 引起的位移等於 作用點由 引起的位移，這就是位移的互等定理。
註：上面的力與位移都是廣義的，也就是說，力既可以表示一組力也可以表示力矩，位移可以表示為轉角。
卡氏定理
和互等定理的推導相似，一組力
作用於彈性構件，引起對應位移為
，且總應變能為 ，若某一力
有一微小增量
，則總應變能變為：
。
現改變施力順序，先施加小量 ，再施加一組力 ，則現在的應變能與原來相等，故：
忽略二階小量，得出卡氏定理表達式：
即：應變能對力的偏導數等於該力作用點的位移。
以彎曲為例，將彎曲應變能公式帶入可以得到彎曲變形的卡氏定理：
利用卡氏定理可以直接由一組力求出任意受力位置的位移，方便而快捷。
虛功原理
平衡系統由於其它原因（如其它外力或溫度變化）引起的位移變化稱為虛位移，“虛”表示由其它因素造成，以區別於因原有的外力所造成的位移。在虛位移中，元件的原有外力保持不變。
虛位移函式
應為連續函式，而且內里在截面上等大反向，故內力對虛位移做的功相互抵消。而原有外力 在虛位移上的功成為虛功，可以表示為：
和實功一樣，虛功還有一種表達形式，即用虛應變能來表示，而虛應變能可以表示為原有內力和虛變形的乘積，即：
由於外力做的虛功等於虛應變能，將上面兩式相等，即可得到虛功原理的表達式：
單位載荷法
將虛功原理中的原有內力換成單位力，即為單位載荷法。單位載荷法是虛功原理的套用，方法簡單，可以直接求出任意位置的位移。
如圖，想要知道力
在A點引起的a-a方向的位移
（此處力與位移都是廣義量），可先不加力 ，而是在相同作用點相同作用方向施加單位力1，引起的軸力、彎矩與剪力分別為
，而將力 引起的位移 視為為虛位移。
帶入虛功原理可得：
摩爾積分法
若材料是線彈性的桿件或可分割為若干個桿件的疊加，可繼續在單位載荷法的基礎上推導得出摩爾積分法，從而得到線性桿件在發生彎曲、拉伸及扭轉變形時廣義位移的直接計算公式。
對於線彈性桿件，其彎曲、拉伸和扭轉變形分別是：
帶入單位載荷法的公式中就可以得到廣義位移：
意義
互等原理、卡式原理、虛功原理、單位載荷法及摩爾積分法等眾多與功和能量相關方法，是固體力學中的一種重要方法，常用來解決彈性構件的靜力學問題。
其避免了直接利用力與變形的關係進行積分運算的複雜過程，而是從能量角度出發給出更為簡潔而統一的運算形式，對構件的變形計算及超靜定結構的求解起著尤其重要的作用，運用能量法，還可以解決一般方法難以解決的動載荷問題及壓桿穩定問題。而且能量法形式統一、方程固定的優點使其適應於編程計算，隨著計算力學的崛起，能量法更加受到重視。
