耗散函式

質點除受有勢力和非有勢力作用外,還受粘滯阻尼的作用,粘滯阻尼是作用在質點上的 線性阻力。由於這種阻力使機械能耗散,所以又稱它為耗散力。

基本介紹

• 中文名：耗散函式
• 外文名：Dissipative function

定義

設作用在任一質點上的線性阻力為

其中是質點的運動速度，阻力係數為常數。

作用在所有質點上的線性阻力在質點系的任意虛位移中所作虛功的和為

式中

將它帶回上式得：

令

稱為耗散函式。則

含耗散函式的拉格朗日方程

令為對應於廣義坐標的廣義耗散力，則

粘滯阻尼也是一種非有勢力，只是由於它的特殊性質，才把它與其他非有勢力分別處理，故將廣義耗散力引入主動力為有勢力的拉格朗日方程，得：

即

這就是主動力為有勢力、非有勢力和廣義耗散力的拉格朗日方程的一般形式，也稱含耗散函式的拉格朗日方程。

耗散函式的物理意義

將主動力為有勢力和廣義耗散力的拉格朗日方程寫成如下形式：

上式兩邊同乘以廣義速度q

式中

代回上式中得：

因為T和都是廣義速度q的二次齊次式，根據歐拉齊次式定理，上式寫為：

即

於是有

E是系統的機械能，式中表明系統的機械能不斷減少，機械能的耗散率等於耗散函式的兩倍。因此，耗散函式表明線性阻尼系統機械能的耗散率的物理量。