總體標準偏差

總體標準偏差是無窮多次測量情況下的實驗標準偏差，又稱為理論標準差。總體標準偏差σ值小，表明測量值比較集中，σ值大表明測量值比較分散。一個較大的標準偏差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準偏差，代表這些數值較接近平均值。

基本介紹

• 中文名：總體標準偏差
• 外文名：population standard deviation（STDEVP）
• 定義：無窮多次測量情況下標準偏差
• 學科：數學
• 套用：誤差估計
• 意義：表征與平均值的分散程度

定義

總體標準偏差是無窮多次測量情況下的實驗標準偏差，又稱為理論標準差。計算公式為：

只有當n充分大（例如取n為200以上）的情況下，σ才與s接近，但決不能相等。一般課本或專業書籍上， 往往把σ稱為標準偏差。通常，σ是未知的，S只能作為σ的估算值。而且， 由於n的次數有限，s本身也有個不確定度。

公式推導

標準偏差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準偏差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準偏差，代表這些數值較接近平均值。

總體標準偏差σ值小，表明測量值比較集中，σ值大表明測量值比較分散。其中， 的目的是為避免正誤差和負誤差相互抵消，因而取其絕對值，開方的目的是為了不改變其量綱。

可用標準偏差表征測量值的分散程度， 例如用標準偏差表征測量儀器的重複性和復現性。σ是無限次測量的誤差的正均方根值，但它不是一個具體的誤差。式 -μ=δ，實際上真值是不可知的，一般以算術平均值來作為真值μ的最佳估計值。因此，可以用 代替μ，而用s作為總體標準偏差σ的估計值，此時有：

現在的問題是，S是否就是σ的無偏估計值。為了解決這個問題只要計算一下 的數學期望是否是 。如果計算得到 的數學期望是 ，那么就說明S就是σ的無偏估計值，否則就不是。為了計算方便，先把 寫成下面的形式：

則有：

由此可見， 的數學期望並不等於 ，因此 不是 的無偏估計值。如果用 來估計 ，必然在結果中含有一個系統誤差 。為了得到參數 的無偏估計值，只要把 乘以 就可以了，這就是說：

其中， 稱為總體方差。為了區別總體標準偏差，用S作為總體標準偏差σ的無偏估計值，則有：

這就是著名的貝塞爾公式。對同一被測量作n次測量，表征測量結果分散性的量s，可用貝塞爾公式算出。稱s為單次測量的標準偏差，一般稱其為實驗標準偏差，是表征測量結果分散性的重要參數。式中x為n次測量的算術平均值，xi-x=νi是殘差，n-1為自由度。可以看出，計算實驗標準偏差的3個重要參數是算術平均值、殘差和自由度。而σ為總體標準偏差，s為實驗標準偏差， 為總體方差， 為實驗方差。

當n→∞時， =μ，說明實驗標準偏差s與總體標準偏差σ的原始定義是一致的。而在n有限時，實驗標準偏差s計算所得的值只是總體標準偏差σ的一個估計值。

意義

總體標準偏差σ的物理意義是：當一台確定的儀器對同一物理量進行n次重複測量時，表述該測量列隨機誤差的分散程度，σ越小。說明該儀器的精密度越好，反之精密度越差；或者，當用一台確定的儀器對一批 個（或n組）零件進行測量時，表達該組被測件隨機誤差的分散程度， σ越小，說明該批零件的工藝穩定性好，反之，工
藝穩定性差。

可以看出，通過測量誤差引出了算術平均值，通過算術平均值引出了殘差和自由度， 進而引出了實驗標準偏差，實驗標準偏差用來表征對同一被測量作n次測量結果的分散性。而表征合理地賦予被測量之值的分散性，並與測量結果相聯繫的參數就是測量不確定度。因此，實驗標準偏差是測量不確定度評定的重要參數，也是測量不確定度評定的理論基礎。

無論是總體標準偏差σ還是實驗標準偏差s，都不是一個具體的誤差。它的數值大小隻不過說明在一定條件下進行一系列測量時， 隨機誤差出現的機率密度分布情況。σ值小表明測量值比較集中，σ值大表明測量值比較分散。所以，在測量中，取測量列的算術平均值作為測量結果，用實驗標準偏差表征測量值的分散程度。因此，算術平均值和實驗標準偏差是測量不確定度評定的數字特徵。

在實踐中的套用

用於測試儀器設備的精密度的評定

在編制儀器的檢定規程時，除通過一定的分析計算，最終還須進行一系列的實驗測試。用n次測試結果計算出 σ值，然後根據需要給定其極限誤差。如我廠自製一台稱重量用的測力裝置。被測參數為2000kg士15% 。該裝置的允許極限誤差究竟給多大才合理，保證使用要求？我們用三等測力計對其進行20次等精度測量。算出 σ=4.54，我們取極限誤差為3σ=15kg，證明該裝置能滿足使用要求。

用於工藝穩定性的評定

當儀器不變，被測對象改變，即用同一台儀器對同一批零件進行n件（或n組）測量，根據測量結果計算出 σ，以便進行工藝調整，尤其對特殊精密加工設備大修後的考核。除按規程經機修檢驗外，一般都要試加工零件。送計量室，給出結論。這裡就不能以一兩件零件來評定，而應重複加工數件，用確定修後結果。

精度檢定

當被測零件（或參數）精度特別高，又無更高精度的儀器可供選擇，而在已有的幾台同類儀器上分別測量時。其結果差異又較大（儀器均合格），則可對幾台儀器進行等精度檢定，分別計算出各自的σ值。在別無選擇的情況下，即可選其中σ最小的一台用於該零件的測量。

用於測量爭議的間接仲裁

當對一批測量值供需雙方有爭議，又不便對提出異議方的實物進行複測時，則可從被訴方同一批尚存的樣件中抽取n個子樣進行複測（或從原記錄中抽取n個數值）計算出σ值（為慎重，可同時覆核一下計量器具的合格性），再根據對方提供的數據算出σ1值。如果被訴方的計量器具合格，且選擇符合誤差要求，當出現 σ1>>σ 時，即可斷定σ1方的測量不準。利用這種分析方法可避免盲目退貨或盲目派員處理。如寶鋼就曾用此方法處理一起涉外爭議：一批出口鋼坯，對方提出異議，他們在確認計量器具合格的基礎上，從未發出的同一批中抽取32件進行複測，算出σ=0.03，據對方提供的數據算出σ1=0.21，σ1>> σ，因此確認對方測量有誤。對方終於接受了寶鋼的結論，撤銷了異議。