著名科學家笛卡兒，根據他所研究的一簇花瓣和葉形曲線特徵，列出了x^3+y^3-3axy=0的方程式，這就是現代數學中有名的“笛卡兒葉線”（或者叫“葉形線”），數學家還為它取了一個詩意的名字——茉莉花瓣曲線。
基本介紹
- 中文名：笛卡兒葉形線
- 外文名：Folium of Descartes
- 學科：數學
- 別稱：葉形線
- 提出者：笛卡爾
- 來源：茉莉花瓣
- 方程：x^3+y^3=3axy
簡介,來源,發現過程,方程,圖像,面積,
簡介
來源
人類很早就從植物中看到了數學特徵：花瓣對稱排列在花托邊緣，整個花朵幾乎完美無缺地呈現出輻射對稱形狀，葉子沿著植物莖桿相互疊起，有些植物的種子是圓的，有些是刺狀，有些則是輕巧的傘狀……所有這一切向我們展示了許多美麗的數學模式。
發現過程
後來，科學家又發現，植物的花瓣、萼片、果實的數目以及其他方面的特徵都非常吻合於一個奇特的數列——著名的裴波那契數列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……其中，從3開始，每一個數字都是前二項之和。
向日葵種子的排列方式，就是一種典型的數學模式。仔細觀察向日葵花盤，你會發現兩組螺旋線，一組順時針方向盤繞，另一組則逆時針方向盤繞，並且彼此相嵌。雖然不同的向日葵品種中，種子順、逆時針方向和螺旋線的數量有所不同，但往往不會超出34和55、55和89或者89和144這三組數字，這每組數字就是裴波那契數列中相鄰的兩個數，前一個數字是順時針盤繞的線數，後一個數字是逆時針盤繞的線數，雛菊的花盤也有類似的數學模式，只不過數字略小一些，鳳梨果實上的菱形鱗片，一行行排列起來，8行向左傾斜，13行向右傾斜。挪威雲杉的球果在一個方向上有3行鱗片，在另一個方向上有5行鱗片。常見的落葉松是一種針葉樹，其松果上的鱗片在兩個方向上各排成5行和8行，美國松的松果鱗片則在兩個方向上各排成3行和5行……
如果是遺傳決定了花朵的花瓣數和松果的鱗片數，那么為什麼裴波那契數列會與此如此的巧合？這也是植物在大自然中長期適應和進化的結果，因為植物所顯示的數學特徵是植物在生長在動態過程中必然會產生的結果，它受到數學規律的嚴格約束，換句話說，植物離不開裴波那契數列，就像鹽的晶體必然具有立方體的形狀一樣。由於該數列中的數值越靠後越大，因此兩個相鄰的數字之商將越來越接近0.618034這個值，例如34/55=0.6182，已經與之接近，這個比值的準確極限是“黃金數”。
數學中，還有一個稱為黃金角的數值是137.5°，這是圓的黃金分割的張角，更數確的價值就該是137.50776°。與黃金數一樣，黃金角同樣受到植物的青睞。
車前草是西安地區常見的一種小草，它那輪生的葉片間的夾角正好是137.5°，按照這一角度排列的葉片，能很好地鑲嵌而又不重疊，這是植物採光面積最大的排列方式，每片葉子都可以最大限度地獲得陽光，從而有效地提高植物光合作用的效率。建築師們參照車前草葉片排列的數學模型，設計出了新穎的螺旋式高樓，最佳的採光效果使得高樓的每個房間都很明亮。1979年，英國科學家沃格爾用大小相同的許多圓點代表向日葵花盤中的種子，根據斐波那契數列的規則，儘可能緊密地將這些圓點擠壓在一起，他用計算機模擬向日葵的結果顯示，若發散角小於137.5°，那么花盤上就會出現間隙，且只能看到一組螺旋線；若發散角大於1370.5°，那么花盤上也會出現間隙，而此時又會看到另一組螺旋線，只有當發散角等於黃金角時，花盤上才呈現彼此緊密鑲合的兩組螺旋線。
所以，向日葵等植物在生長過程中，只有選擇這種數學模式，花盤上種子的分布才最為有效，花盤也變得最堅固壯實，產生後代的幾率也最高。
方程
直角坐標系：
極坐標系：
參數方程：
圖像
圖像的結點：O(0,0) 在此點圖像與x，y軸相切，曲率半徑3a/2
笛卡爾葉形線
笛卡爾葉形線圖像的頂點：A(3a/2,3a/2)
漸近線：x+y+a=0
圈套圍成的面積：
曲線與漸近線的面積：
面積
用極坐標方程求解過程如下：
