瓦里尼翁平行四邊形(Varignon parallelogram)是四邊形的一個特殊內接四邊形。順次連結四邊形各邊中點而成的四邊形是平行四邊形，稱為瓦里尼翁平行四邊形。它的面積是原四邊形面積的一半，這個平行四邊形是瓦里尼翁(P.Varignon)發現的，但遲至1731年才發表。
基本介紹
- 中文名：瓦里尼翁平行四邊形
- 外文名：Varignon parallelogram
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何（平行四邊形）
- 發現者：瓦里尼翁(P.Varignon)
- 別稱：中點四邊形
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基本介紹
定理依次連結四邊形各邊中點的圖形是平行四邊形(P.Varignon,1654-1722，法國)。
定理也體現數學和諧之美，推導也很簡單，用三角形的中位線定理即可，但是令人感到驚奇的是此定理遲至1721年才發現，定理對於凹四邊形(圖a(a))，交叉四邊形(圖1(b))，有一點不在另外三點平面上的空間四邊形(圖1(c))都成立，這種平行四邊形都稱為Varignon平行四邊形（也叫“中點四邊形”）。
Varignon平行四邊形的證明與推廣
如圖2:順次連結四邊形ABCD各邊的中點E、F、G、H所得的四邊形EFGH平行四邊形。
圖2證明連結AC
因為:E、F分別為AB、BC的中點
所以:EP是△ABC中位線
所以:EF//AC且EF=1/2AC
同理可證明:
HG//AC且HG=1/2AC
所以:EF//HG且EF=HG
所以:四邊形EFGH是平行四邊形。
其實，這個例題也可以連結肋來證明EH與FG平行且相等，就可以證明四邊形EFGH是平行四邊形。(如圖3)
圖3從圖形可以看出，要想判定中點四邊形EFGH的形狀，其實只要判定原四邊形ABCD的對角線AC與肋的關係，是相等，還是垂直，或是二者皆有。
易證明：
若AC=BD，可推出四邊形EFGH的四條邊都相等，則四邊形EFGH是菱形。
若AC⊥BD，可推出四邊形EFGH的四個角都是90度，則四邊形EFGH是矩形。
若AC=BD且AC⊥BD，可推出四邊形EFGH的四條邊都相等，四個角都是90度，則四邊形EFGH是正方形。
歸納結論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；若四邊形的對角線相等，則它的中點四邊形是菱形；若四邊形的對角線垂直，則它的中點四邊形是矩形；若四邊形的對角線垂直且相等，則它的中點四邊形是正方形。
Varignon平行四邊形的面積
(如圖4)只要作△ACD的高DM,DM交AC於M,易知DM的一-半是平行四邊形GHIJ的高。
圖4分析：易知AC=2HG
所以△ACD的面積
=2平行四邊形GHIJ的面積
同理可證明：
△ABC的面積=2平行四邊形EFIJ的面積
以上兩式相加可得：
四邊形ABCD的面積=2四邊形EFGH的面積
歸納結論：中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半。
