熱傳導方程式

熱傳導方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。

基本介紹

• 中文名：熱傳導方程式
• 外文名：heat equation
• 別稱：熱方程
• 套用學科：熱力學

物理動機

熱傳導在三維的等方向均勻介質里的傳播可用以下方程表達：

其中：u=u(t,x,y,z)表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函式； 是空間中一點的溫度對時間的變化率； 與 溫度對三個空間坐標軸的二次導數；k是熱擴散率，決定於材料的熱傳導率、密度與熱容。

熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分布反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。利用拉普拉斯運算元，熱方程可推廣為下述形式

其中的 是對空間變數的拉普拉斯運算元。

熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電勢。熱方程也可以作為某些金融現象的模型，諸如布萊克-斯科爾斯模型與Ornstein-Uhlenbeck過程。熱方程及其非線性的推廣型式也被套用於影像分析。量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱方程的數學式（但時間參數為純虛數），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達了一個擾動可以在瞬間傳播至空間各處。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

套用

熱方程在許多現象的數學模型中出現，而且常在金融數學中作為期權的模型出現。著名的布萊克-斯科爾斯模型中的差分方程可以轉成熱方程，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱方程可以用Crank-Nicolson法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型。

參見

• 熱
  
• 偏微分方程
  
• 發展方程