流形上的偏微分運算元，定義在整個微分流形上的偏微分運算元。
基本介紹
- 中文名：流形上的偏微分運算元
- 所屬學科：數學
在一個未知函式的情形，m階線性的偏微分運算元是M上C∞函式的集合C∞(M)到C∞(M)的一個線性映射l，而在每一坐標區域中，l可表示為這裡顯然，在兩個坐標區域的重迭部分，l的兩種表示可以通過坐標變換互相轉換。例如，黎曼流形上的第二類貝爾特拉米運算元，在每一個坐標區域中可表示為這裡gij(x)是度量張量的反變分量，是克里斯托費爾符號（見黎曼幾何學）。多個未知函式的線性偏微分運算元l可定義如下：設是定義在M上的向量叢，Г(E1)為C∞截面的全體，同樣Г(E2)表示另一向量叢的C∞截面的全體，l是Г(E1)到Г(E2)的線性映射，它滿足：對每一小的坐標區域U，如果Г(E1)和Г(E2)中的元素在U上的限制可以用m1元和m2元的列向量函式來表示，則l可以寫為這裡αα(x)是m2×m1陣，m1和m2分別是E1和E2的纖維的維數。在局部坐標下，微分運算元的主符σ(l)(ξ)可表示為偏微分運算元的類型可由其主符（和通常偏微分運算元一樣地）來決定。特別，對任何ξ≠0，若σ(l)(ξ)恆為非異方陣時，運算元l就是橢圓型的，例如，第二類貝爾特拉米運算元Δ的主符可表示為由於黎曼度量是正定的，所以Δ是橢圓運算元。對運算元l而言，可以定義其象其核ker(l)={u∈Г(E2)，lu=0}，還可以作余核Coker(l)=Г(E2)/Im(l)，它們都是線性空間。當l是橢圓型偏微分運算元時，可以證明Ker(l)和Coker(l)都是有限維的，Ker(l)的維數減去Coker(l)的維數稱為運算元l的指標。20世紀60年代，M.F.阿蒂亞和I.M.辛格得到著名的指標定理：橢圓運算元l的指標是由向量叢E1、向量叢E2和主符σ(l)所確定的一個拓撲不變數。在微分幾何中時常要求解由微分運算元所定義出來的偏微分方程，這種方程的解是否存在，有多少，往往不僅依賴於方程本身，而且依賴流形的性質。例如貝爾特拉米-拉普拉斯方程 Δu＝0在緊緻流形上就只有常數解。在微分流形中也可以定義非線性的偏微分方程，其重要性也與日俱增，極小曲面方程，蒙日-安培方程、楊-米爾斯方程都是非線性的偏微分方程。
