法錐是數學非光滑分析與集合幾何中的基礎概念，指某點處所有法向量組成的閉錐集合，其嚴格數學表達式為閉包形式。在有限維Hilbert空間中，法錐與正則法錐均具有閉錐性質，且切錐的極錐等於正則法錐。正則法錐通過序列收斂方式定義的極限法錐，被廣泛套用於集值映射的圖導數構建與參數變分系統解映射的靜態性質分析。針對廣義多面體約束條件，法錐可分解為特定生成集的線性組合，並通過指標集關係驗證其在最佳化問題中的收斂性。
基本介紹
- 外文名：Normal Cone
- 所屬學科：非光滑分析
- 數學性質：閉錐集合
- 提出時間：2020年（《數學名詞》第一版）
- 核心定理：切錐極錐等價性
- 套用領域：參數變分系統分析
定義與基本性質,正則法錐與極限法錐,在變分分析中的套用,
定義與基本性質
法錐（normal cone）定義為在集合$S$的某點$x$處，所有法向量構成的閉錐集合，其數學表達式為閉包形式：
$$
N_S(x) = \text{cl}{\, v \mid \exists{x_k}\subset S,\, v_k \to v,\, \limsup \langle v_k, x_k - u \rangle \leq 0,\, \forall u \in S \,}$$。在有限維Hilbert空間中，集合$S$的法錐與正則法錐均為閉錐，且滿足切錐$T_S(x)$的極錐等於正則法錐$\hat{N}_S(x)$。
$$
N_S(x) = \text{cl}{\, v \mid \exists{x_k}\subset S,\, v_k \to v,\, \limsup \langle v_k, x_k - u \rangle \leq 0,\, \forall u \in S \,}$$。在有限維Hilbert空間中，集合$S$的法錐與正則法錐均為閉錐，且滿足切錐$T_S(x)$的極錐等於正則法錐$\hat{N}_S(x)$。
正則法錐與極限法錐
正則法錐$\hat{N}_S(x)$被定義為切錐的極錐，即：
$$
\hat{N}_S(x) = T_S(x)^\circ
$$
而極限法錐$N_S(x)$則通過序列收斂方式構造，滿足：
$$
NS(x) = \limsup{x' \to x} \hat{N}_S(x')
$$。二者在Hilbert空間中的閉性表現為：當$x_k \to x$且$v_k \in N_S(x_k)$時，若$v_k \to v$，則$v \in N_S(x)$。
$$
\hat{N}_S(x) = T_S(x)^\circ
$$
而極限法錐$N_S(x)$則通過序列收斂方式構造，滿足：
$$
NS(x) = \limsup{x' \to x} \hat{N}_S(x')
$$。二者在Hilbert空間中的閉性表現為：當$x_k \to x$且$v_k \in N_S(x_k)$時，若$v_k \to v$，則$v \in N_S(x)$。
在變分分析中的套用
法錐在非光滑分析中具有以下具體套用：
- 圖導數與度量正則性：通過法錐定義集值映射$F$的圖導數，其Fréchet上導數滿足$\hat{D}^F(x|y)(y^) ={x^* \mid (x^,-y^) \in \hat{N}{\text{gph}F}(x,y)}$。度量正則性準則則通過法錐與零向量的相交性判定，即$\hat{N}{\text{gph}F}(x,y) \cap{(0,y^*)}= \emptyset$時，系統具有局部度量正則性。
- 廣義多面體約束下的表達式：對參數變分不等式約束集$\Omega$，法錐可表示為有效約束指標集$I$生成的錐結構：
$$
N_\Omega(x) = \text{pos}{\, \lambda_i x_i^* \mid \lambda_i \geq 0,\, i \in I \,}$$
其中$x_i^$為約束函式的梯度。定理3.1進一步證明，當指標集$P \subseteq Q$時，極限法錐滿足$N(x) \subseteq \text{cone}{\, x_i^\mid i \in Q \,}$。 - 靜態性質分析：在參數變分系統解映射的靜態性研究中，法錐性質被用於構造伴同導數的上下界估計。例如，定理2表明法錐可分解為$A^Y^$與生成集的組合形式，並通過序列${x_k}$收斂驗證其表達式的一致性。
