直接抓住全體對象中的極端情形或它們所具有的某種極端性質加以研究、解決問題的思想方法稱為極端性原則。
基本介紹
- 中文名：極端原理
- 分類：原理
- 又稱：極端性原則
- 套用：數學問題等
- 研究：極端情況
- 特點：發現問題的本質
套用領域,極端性原理,典型例題,
套用領域
數字必須絕對準確為其特徵的數學，也常常要在極端的條件下使用數字，當然那不是一種“容許”的誇張，而是要在如果“不容許”的情況下，看它會發生什麼後果，以幫助我們發現問題的本質。數學家在解決數學問題時，經常要先從下面一些角度考慮問題：諸如“假如一個都沒有”、“假如每一個都有”、“假如每一個至少有”、“假如每一個最多有”、“如果只有唯一的一個”、“如果是最特殊(如最大、最小、最長、最短、最多、最少、最左、最右等等)的一個”等極端情況，在這種極端的狀態下，往往能使問題的關鍵暴露出來，幫助我們找到解題的途徑。這種思想，在數學中稱為極端原理。
極端性原理
用極端原理解題，就是在解決相關數學問題時，重點放在所研究問題的極端情況。
最小數原理、最大數原理
命題一 有限個實數中，必有一個最小數（也必有一個最大數）。
命題二 在有限個或無限個正整數中，必有一最小數。
命題二可用集合的語言表述為，
最小數原理：若
是自然數集
的任一非空子集(註：有限或無限均可)，則中必有最小的數
，即對屬於的任何數
，均有
。
最短長度原理
最短長度原理1：任意給定平面上的兩點，在所有連線這兩點的曲線中，以直線段的長度為最短；
（需注意此原理雖然是直觀的，但對曲線和其長度的嚴格定義卻頗費周折。）
最短長度原理2：在連線一已知點和已知直線或已知平面的點的所有曲線中，以垂線段的長度為最短。
典型例題
（一）考慮問題的極端情形：
引例：平面上有n個(n≥3)點，任三點不共線，證明：存在3點A、B、C，使其餘n－3個點都在△ABC外面．
例1 求證：在四面體ABCD中，必有某個頂點，從它發出的三條棱作為三邊可以構成一個三角形。
例2 給出平面的一個有限點集，點集中的點不全在一條直線上．證明：存在一條直線，只經過點集中的兩個點．
例3 平面上有n個紅點與n個藍點，任意三點都不共線．求證：可以用n條線段連結這2n個點，每條線段連結一個紅點與一個藍點，且這n條線段沒有公共點．
例4 有n(n³3)個排球隊參加單循環賽 (排球賽的每場都要分出勝負) ，比賽結束後，發現沒有一個隊全勝．求證：必存在三個隊A，B，C，使A勝B，B勝C，C又勝A．
例5 有n個男生，m個女生（n，m>1），每一個男生至少與一個女生彼此相識，每個女生不全認識n個男生，證明：他們當中，必有兩個男生和兩個女生，其中每個男生恰好認識其中一女生，其中每個女生恰好認識其中一男生。
（二）逐步調整法
例6 一群小孩圍坐一圈分糖果，老師讓他們先每人任取偶數塊糖，然後按下列規則調整：所有小孩同時把自己手中的糖分一半給右邊的小孩，糖塊變為奇數的人向老師要1塊糖．這算一次調整．證明：經過有限次調整後，大家的糖就變得一樣多了．
（三）無窮遞降法
例7 若干個球裝在2n+1個口袋中，如果任意取走1袋，總可以把餘下的2n袋分成兩組，每組n袋，並且這兩組的球的個數相等．證明：每個袋中的球的個數都相等．
例8 試求方程x3－2y3－4z3=0的所有整數解．
例9 設正整數n ，m滿足n>m，證明：存在 的一種不等的倒數分拆，既存在自然數n1<n2<……<nk，使得 。
（四）構造法與極端性原理
例10 求最大的整數A，使對於由1到100的全部自然數的任意一排列，其中都有10個位置相鄰的數，其和大於或等於A。
例11 若平面上有997個點，如果每兩點連成一條線段，且中點染成紅色．證明：平面上至少有1991個紅點，你能找到恰有1991個紅點的特例嗎？
（五）反證法與極端性原理
例12 設a是大於1的自然數，求證：a的所有正因數中，至少有一個是質數．
例13 設f(n)是定義在自然數集上且取自然數值的嚴格單調遞增函式，f(2)=2，當m，n互質時，有f(mn)=f(m)f(n)，求證：對一切自然數n，有f(n)=n。
（六）幾個例題
例14 已知 ， ，…， 與 ， ，…， 是2n個數，且 2+ 2+…+ 2=1， 2+ 2+…+ 2=1，求證： ， ，…， 中存在一個值一定不大於1。
例15 求證：單位長的任何曲線能被面積為 的閉矩形覆蓋。（美國普特南數學競賽題，1963年）
