柱測度

柱測度(cylinder measure)是測度概念的推廣。設X，Y是兩個實線性空間，〈x，y〉(x∈X，y∈Y)是X×Y上的實雙線性泛函，且對任意非零向量x∈X，存在y∈Y，使得〈x，y〉≠0，對Y也有同樣的假定，任取n個向量x_i∈X(1≤i≤n)，記Y中使〈x₁，·〉，〈x₂，·〉，…，〈x_n，·〉均為可測函式的最小σ代數為F(x₁，x₂，…，x_n)，每個F(x₁，x₂，…，x_n)中的集稱為Y中的柱集，柱集全體記為F，它是Y上的代數。若μ是F上的集函式且μ限制在每一個F(x₁，x₂，…，x_n)上是一個機率測度，則μ稱為Y上的柱測度。明洛斯(Р.А.Минлос)於1959年證明了下面的基本定理：若Φ是核空間，則Φ的共軛空間Φ′的任何一個關於Φ的拓撲連續的(即對任何ε>0，存在Φ中點o的鄰域U，對任何x∈U，都有μ{y||﹤x,y﹥|>1}<ε。柱測度μ都是可列可加的。

基本介紹

• 中文名：柱測度
• 外文名：cylinder measure
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：測度論
• 相關概念：雙線性泛函、可測函式等

定義

設是線性空間，是上某些線性泛函所成的線性空間，設S是中的Borel柱全體所成的代數。

設P是S上的集函式；對於的每個有限維子空間，把P限制在相應於中的Borel柱全體上時，P是機率測度，那么稱P是上的柱測度。

顯然，柱測度P又滿足下面的條件：

(i) 對任何

(ii)

(iii) P是有限可加的。

相關概念

當柱測度P在S上可列可加的時候，我們根據熟知的方法，把P延拓到包含S的最小代數上——延拓後的集函式仍記做P，——使得成為機率測度空間。

設P 是上的柱測度，若是上的函式，而且存在的有限維子空間使關於機率測度空間是可積的，那么稱關於上的柱測度P是可積的，而且以關於的積分作為關於柱測度P的積分，仍記為

特別，當P是可列可加的時候，這個積分值也就是關於測度空間的積分。

定義1設是線性空間是上的函式，如果對於任何有限個函式是實變數的連續函式，也就是說， 在的任何有限維空間(有限維線性子空間中總是採用歐幾里得拓撲) 是連續函式，那么稱f是準連續的。

引理1 設是線性空間，是 上某些線性泛函組成的線性空間，P是上的柱測度，作函式

則f是上的正定準連續函式，而且。

引理2 設是線性空間，是上某些線性泛函組成的線性空間，又是完整的(即中的非零泛函的零空間只含零向量)，那么對於上的每個正定準連續函式必有上唯一的柱測度P，使得

柱測度的連續性

定義2設是以做拓撲的線性拓撲空間，是上的某些線性泛函組成的線性空間，P 是上的柱測度，如果對於任何正數必有0的環境，使得當時，

成立，那么稱P是關於拓撲連續的或簡稱P是連續的。

引理3 設是線性拓撲空間，是上的某些線性泛函組成的線性空間，P 是上的柱測度，作

那么f 在上連續的充要條件是柱測度P為連續的。

定理1設是滿足第一可列公理的線性拓撲空間，是上某些線性連續泛函所成的線性空間是中包含一切Borel柱的最小代數，是機率測度空間，則P必是連續的。