最佳逼近廣義多項式

最佳逼近廣義多項式(generalized polynomials of best approximation)是指達到最佳逼近的廣義多項式，Haar提出了最佳逼近廣義多項式的惟一性定理。

基本介紹

• 中文名：最佳逼近廣義多項式
• 外文名：generalized polynomials of best approximation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：實變函式逼近論
• 相關概念：最佳逼近、廣義多項式等

基本介紹

最佳一致逼近問題

在次數不超過n的多項式集合 中求 ，使它與 的誤差

這就是最佳一致逼近問題。

最佳一致逼近多項式

給定 ，若存在 ，使

則稱 是 在[a，b]上的最佳一致逼近(minimaxapproximation)多項式， 稱為最佳偏差(minimax error)，它等於最小偏差值 。

理論上已證明，對任何 ，都存在惟一的 ，使式(1)成立，實際上在集合 中每一元素, 都對應一個偏差 ，由於 ，故集合 有下界，從而有下確界 。如果存在 使 就是所要求的最佳一致逼近多項式。切比雪夫(Chebyshev)對最佳一致逼近多項式的特性，給出了下面的重要定理。

切比雪夫定理

設 是在[a，b]上的最佳一致逼近多項式的充分必要條件是，在[a，b]上至少有個點

使

這個定理表明，最佳一致逼近多項式的特性，即逼近的誤差分布是均勻的，如圖1所示。

圖1

最佳(一致)逼近廣義多項式

若在空間 中取子集 ，若存在 使

則稱 為 的最佳(一致)逼近廣義多項式，對於代數多項式集合的元素，在[a，b]上最多只能有n個不同的零點，根據切比雪夫定理知最佳一致逼近多項式有n+2個輪流為“+”、“-”的偏差點，對廣義多項式也要求在[a，b]上至多具有n個不同的零點，因此要對廣義多項式引進更廣泛的哈爾(Haar)條件。

哈爾條件

函式線性無關，若子集中任一不恆為零的廣義多項式，即

在區間[a，b]上至多具有n個不同的零點，則稱函式在[a，b]上滿足哈爾條件，也可稱子集滿足哈爾條件。

顯然，子集是滿足哈爾條件的。

充要條件

有了上述哈爾條件的定義，就可類似定理切比雪夫定理得到下面定理。

定理若子集滿足Haar條件則對任意給定的函式，使廣義多項式

成為函式在空間C[a，b]上的最佳(一致)逼近廣義多項式的充分必要條件是在[a，b]上至少存在n+2個輪流為“+”、“一”的偏差點，即

利用以上定理還可證明當子集滿足Haar條件時，則對任給的函式的最佳逼近廣義多項式是惟一的。

唯一性定理

Haar還提出了下面的最佳逼近廣義多項式的惟一性定理。

定理 對任何函式，子集中存在惟一的最佳逼近廣義多項式的充分必要條件是子集滿足Haar條件。