應變余能

應變余能(Complementary Strain Energy)也稱余應變能（簡稱余能）。是變形能的分類之一，變形能分應變能與應變余能。將載荷-位移曲線與豎坐標軸之間的面積，即曲線上面的面積定義為載荷的余功，用W*表示；若載入過程無耗損，載荷的余功W*即等於桿件的應變余能U*，應變余能的幾何意義是應力-應變曲線與應力軸之間的面積。

基本介紹

• 中文名：應變余能
• 外文名：Complementary Strain Energy 
• 所屬學科：結構力學、彈性力學、材料力學
• 領域：工程技術
• 別名：余應變能 、應力能 

定義

如P-Δ曲線圖，將載荷-位移曲線與豎坐標軸之間的面積，即曲線上面的面積定義為載荷的余功，用W*表示，表達式則有：

P-Δ曲線

雖然余功W*沒有明顯的物理意義，但是按其定義有關係：

因此，按兒何意義顯然余功W*為功W的餘數。

若載入過程無耗損，載荷的余功即等於桿件的應變余能U*，因此有：

應變余能的幾何意義是應力-應變曲線與應力軸之間的面積。

計算關係

應變能與應變余能

以一維問題為例，一個截面積為A、長度為L的等截面直桿在軸向外力P₁的作用下伸長δ₁。如果不考慮變形過程中的動力效應和溫度效應，則外力作的功W全部貯存到桿中，變成了桿的應變能U，其值為：

在軸向外力P1作用下伸長δ1的桿；虛線表示伸長變形。

式中P為變形過程中與伸長量δ對應的載荷。在P-δ曲線中，曲線下方的面積相當於桿中的應變能。而和曲線上方的面積相應的為余應變能（簡稱余能），記為U*，其值為：

P-δ曲線

用應力和應變表示的應變能和余能的公式為：

式中V=LA為桿的體積；σ=P/A為桿中的應力；ε= σ/L為桿中的應變； σ₁、ε₁分別為P₁、δ1對應的應力和應變。如果桿的材料為線彈性的（即應力和應變成正比），則應變能和余能相等，即：

式中E為彈性模量。

在三維問題中，有六個獨立的應力分量和六個獨立的應變分量。在小變形的情況下，每個應力分量在相應的應變分量上作功，因此應變能和余能的表達式都包括六項：

應變能和余能的表達式

式中 δ_xx、δ_yy、δ_zz、δ_xy、 δ_xz、δ_yz為物體在載入過程中的應力分量；ε_xx、ε_yy、ε_zz、ε_xy、ε_xz、ε_yz分別為與上述應力分量相應的應變分量；積分上限的下標1表示載入終點。對於線彈性體則有：

線彈性體表達式