度量子空間

簡介

度量空間亦稱距離空間，是一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。度量空間是弗雷歇(Frechet,M.-R.)於1906年引進的，它是現代數學中的一種基本而重要並且非常接近於歐幾里得空間的抽象空間，也是泛函分析的基礎之一。

設R是一個非空集合，ρ(x,y)是R上的二元函式，滿足如下條件：

1、ρ(x,y)≥0且ρ(x,y)=0⇔x=y；

2、ρ(x,y)=ρ(y,x)；

3、（三角不等式）ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z)，則稱ρ(x,y)為兩點x,y之向的距離，R按距離ρ成內度量空向或距離空向，記為(R,ρ)。

設A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成內度量空間，稱為R的（度量）子空間。

如果把上述距離的條件1改為ρ(x,y)≥0且ρ(x,x)=0，則稱ρ為R上的擬距離。當ρ(x,y)=0時，記x~y，~是R上的一個等價關係，記商集（即等價類全體）為D=R/~，在D上作二元函式

，則

是D上的距離，而(D,

)稱為R按擬距離ρ導出的商（度量）空間。

度量空間(R,ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x₀∈R，存在常數M，使ρ(x₀,x)≤M對A中的一切x成。設x₀∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R,ρ(x,x₀)<r}為以x₀為中心，r為半徑的開球，或x₀的r鄰域，記為O(x₀,r)。又設

，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域

,則A稱為開集；而稱開集的補集為閉集。R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。