嵌入不等式

設A+B+C=(2k+1)π。x,y,z∈R

則有：

x^2+y^2+z^2>=2yzcosA+2xzcosB+2xycosC

等號成立若且唯若x:y:z=sinA:sinB:sinC

基本介紹

• 中文名：嵌入不等式
• 學科：數學
• 性質：公式
• 特點：成立

證明

原式等價於：

(x-ycosC-zcosB)^2+(ysinC-zsinB)^2≥0

成立

變形

嵌入不等式的等價形式(1)

設A+B+C=(2k+1)π

x,y,z∈R

則有

xy[sin(C/2)]^2+zx[sin(B/2)]^2+yz[sin(A/2)]^2>=(1/4)(2xy+2yz+2zx-x^2-y^2-z^2)

等號成立若且唯若x:y:z=sinA:sinB:sinC

嵌入不等式的等價形式(2)

設A+B+C=(2k+1)π

x,y,z∈R

則有

(x+y+z)^2>=4{xy[cos(C/2)]^2+zx[cos(B/2)]^2+yz[cos(A/2)]^2}

等號成立若且唯若x:y:z=sinA:sinB:sinC