若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直於一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。
如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，垂足為M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中點。
推廣過圓內接四邊形兩對角線交點作任一邊的垂線，必過以其對邊為一邊，以交點為頂點的三角形的外心。
基本介紹
- 中文名：婆羅摩笈多定理
- 外文名：Brahmagupta theorem
- 別稱：布拉美古塔定理
- 提出者：婆羅摩笈多
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何
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定理定義
驗證推導
方法一
如圖，運用向量證明。
方法一圖片
方法一圖片∵B、F、A共線，由共線向量基本定理可知，存在唯一實數k，使EF=(1-k)EB+kEA。其中BF=kBA
又EF⊥CD
∴EF·CD=[(1-k)EB+kEA]·(CE+ED)=0
展開得(1-k)EB·CE+kEA·CE+(1-k)EB·ED+kEA·ED=0
∵EB⊥CE、EA⊥ED，即EB·CE=0，EA·ED=0
∴kEA·CE+(1-k)EB·ED=0
即k|EA||CE|cos0+(1-k)|EB||ED|cosπ=0
kEA*EC=(1-k)EB*ED
∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)
∴k=1-k，k=1/2
∴BF=1/2*BA，即F是BA中點
方法二
如圖，運用幾何證明。
方法二圖片
方法二圖片∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同時∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，即F是AD中點
定理推廣
若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直於對邊。
如上圖，圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中點，則FM⊥BC。
過圓內接四邊形兩對角線交點做另一邊的垂線，必過其對邊為一邊，以交點為一頂點的三角形的外心。
證明
方法一
∵MA⊥MD，F是AD中點
∴AF=MF
∴∠CAD=∠AMF
∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME
∴∠CBD=∠CME
∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°
∴∠CBD+∠BME=90°
∴EF⊥BC
方法二
∵F是BA中點
∴EF=1/2*(EA+EB)
CD=CE+ED
EF·CD=1/2*(EA+EB)·(CE+ED)
EF·CD=1/2*(EA·CE+EA·ED+EB·CE+EB·ED)
EF·CD=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0
∴EF⊥CD
定理說明
1.此定理是很冷門的（被考即是因為冷門），最好題前引例證明
2.向量法證明是很方便的方法，特別是另一版本的證明，自己想出來的，比我看的任何證明過程都簡單很多
3.想要抓住聯賽的幾何題，類似的冷門定理要多掌握
