外森比克不等式

定理內容

若a,b,c為三角形三邊長，S是三角形面積,

則：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S，若且唯若△ABC為正三角形時等號成立.

定理證明如下：

由海倫公式，三角形面積可表示為：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2

則：4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

由於三角形任意兩邊之和大於第三邊，所以根號里各項都是正數，

由均值不等式可得：

4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}

=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)

=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2]/(3√3)

≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

即：4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)

整理得

a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 證畢。

外森比克不等式還可以加強為：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,

也就是費恩斯列爾·哈德維格爾（Hadwiger Finsler）不等式。

佩多不等式（Don Pedoe Inequality)是外森比克不等式的推廣，其內容為：

如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那么：

A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(b^2+a^2-c^2)≥16Ff

等式成立若且唯若兩個三角形對應邊成比例，也就是a / A = b / B = c / C。