在一個平面內，一動點以一定點為中心，以一定長度為距離旋轉一周所形成的封閉曲線叫做圓。圓有無數個點。
在同一平面內，到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。圓可以表示為集合{M||MO|=r},圓的標準方程是(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2。其中，o是圓心，r 是半徑。
圓形是一種圓錐曲線，由平行於圓錐底面的平面截圓錐得到。
圓是一種幾何圖形。根據定義，通常用圓規來畫圓。 同圓內圓的直徑、半徑長度永遠相同，圓有無數條半徑和無數條直徑。圓是軸對稱、中心對稱圖形。對稱軸是直徑所在的直線。 同時，圓又是“正無限多邊形”，而“無限”只是一個概念。當多邊形的邊數越多時，其形狀、周長、面積就都越接近於圓。所以，世界上沒有真正的圓，圓實際上只是概念性的圖形。
基本介紹
- 中文名：圓
- 外文名：Circle
- 別稱：圓形
- 表達式：（x-a)2+（y-b)2=r2
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何圖形
- 圖形表示：⊙
圓的定義,第一定義,第二定義,相關特點,徑,弦,弧,角,圓周率,形,表示方式,計算公式,圓的周長公式,圓的面積公式,弧長角度公式,扇形面積公式,位置關係,圓的性質,相關定理,切線定理,切線長定理,切割線定理,割線定理,垂徑定理,弦切角定理,圓的方程,繪製方式,歷史介紹,
圓的定義
第一定義
在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓（circle）。這個定點叫做圓的圓心。
圓形一周的長度，就是圓的周長。能夠重合的兩個圓叫等圓，等圓有無數條對稱軸。
圓是一個正n邊形（n為無限大的正整數），邊長無限接近0但永遠無法等於0。
第二定義
平面內一動點到兩定點的距離之比（或距離的平方之比），等於一個不為1的常數，則此動點的軌跡是圓。
證明：點坐標為(x1,y1)與(x2,y2)，動點為(x,y)，距離比為k，由兩點距離公式。滿足方程(x-x1)2 + (y-y1)2 = k2×[ (x-x2)2 + (y-y2)2] 當k不為1時，整理得到一個圓的方程。
幾何法：假設定點為A，B，動點為P，滿足|PA|/|PB| = k（k≠1），過P點作角APB的內、外角平分線，交AB與AB的延長線於C，D兩點由角平分線性質，角CPD=90°。由角平分線定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k，注意到唯一k確定了C和D的位置，C線上段AB內，D在AB延長線上，對於所有的P，P在以CD為直徑的圓上。
相關特點
徑
1.連線圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，字母表示為r（radius）
2.通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d（diameter）。直徑所在的直線是圓的對稱軸。
圓的直徑 d=2r
弦
1.連線圓上任意兩點的線段叫做弦（chord）.在同一個圓內最長的弦是直徑。直徑所在的直線是圓的對稱軸，因此，圓的對稱軸有無數條。
弧
1.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧（arc）以“⌒”表示。
2.大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧，所以半圓既不是優弧，也不是劣弧。優弧一般用三個字母表示，劣弧一般用兩個字母表示。優弧是所對圓心角大於180度的弧，劣弧是所對圓心角小於180度的弧。
2.大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧，所以半圓既不是優弧，也不是劣弧。優弧一般用三個字母表示，劣弧一般用兩個字母表示。優弧是所對圓心角大於180度的弧，劣弧是所對圓心角小於180度的弧。
3.在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩條弧叫做等弧。
角
1.頂點在圓心上的角叫做圓心角（central angle）。
2. 頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。圓周角等於相同弧所對的圓心角的一半。
圓周率
圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個無限不循環小數，通常用字母
表示，
形
表示方式
圓—⊙ ；半徑—r或R（在環形圓中外環半徑表示的字母）；圓心—O；弧—⌒；直徑—d ；
扇形弧長—L ； 周長—C ； 面積—S。
計算公式
圓的周長公式
圓的周長：
圓周長的一半 c=πr
半圓的周長 c=πr+2r
圓的周長公式推導（此方面涉及到弧微分）
即
圓的面積公式
圓的面積計算公式：
或
或
圓的面積求直徑：
把圓分成若干等份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬相當於圓的半徑。
圓錐側面積
（l為母線長）
弧長角度公式
扇形弧長L=圓心角（弧度制）×R= nπR/180（θ為圓心角）（R為扇形半徑）
扇形面積S=nπ R2/360=LR/2（L為扇形的弧長）
圓錐底面半徑 r=nR/360（r為底面半徑）（n為圓心角）
扇形面積公式
R是扇形半徑，n是弧所對圓心角度數，π是圓周率，L是扇形對應的弧長。
也可以用扇形所在圓的面積除以360再乘以扇形圓心角的角度n，如下：
（L為弧長，R為扇形半徑）
推導過程:S=πr2×L/2πr=LR/2
(L=│α│·R)
位置關係
點和圓位置關係
①P在圓O外，則 PO>r。
②P在圓O上，則 PO=r。
③P在圓O內，則 PO<r。
反之亦然。
平面內，點P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關係判斷一般方法是：
①如果(x0-a)2+(y0-b)2<r2，則P在圓內。
②如果(x0-a)2+(y0-b)2=r2，則P在圓上。
③如果(x0-a)2+(y0-b)2>r2，則P在圓外。
直線和圓位置關係
①直線和圓無公共點，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。
②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d<r。
平面內，直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關係判斷一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等於0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關於x的方程
如果b2-4ac>0，則圓與直線有2個公共點，即圓與直線相交。
如果b2-4ac=0，則圓與直線有1個公共點，即圓與直線相切。
如果b2-4ac<0，則圓與直線有無公共點，即圓與直線相離。
2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A，它平行於y軸（或垂直於x軸），將x2+y2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）2+（y-b）2=r2，令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，並且規定x1<x2，那么：
當x=-C/A<x1或x=-C/A>x2時，直線與圓相離；
當x1<x=-C/A<x2時，直線與圓相交。
圓和圓位置關係
①無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含。
③有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
設兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結論：外離P>R+r；外切P=R+r；內含P<R-r；
內切P=R-r；相交R-r<P<R+r。
圓的性質
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。
垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的2條弧。
⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理
① 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其餘各組量都分別相等。
②在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側）。
直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。
圓心角計算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
即圓心角的度數等於它所對的弧的度數；圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。
③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理
②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。
③R=2S△÷L（R：內切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。
④兩相切圓的連心線過切點。（連心線：兩個圓心相連的直線）
⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AC與BD分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。
（4）如果兩圓相交，那么連線兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。
（5）弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。
（6）圓內角的度數等於這個角所對的弧的度數之和的一半。
（7）圓外角的度數等於這個角所截兩段弧的度數之差的一半。
（8）周長相等，圓面積比正方形、長方形、三角形的面積大。
相關定理
切線定理
垂直於過切點的半徑；經過半徑的外端點，並且垂直於這條半徑的直線，是這個圓的切線。
切線的判定方法：經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質：
（1）經過切點垂直於過切點的半徑的直線是圓的切線。
（2）經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。
（3）圓的切線垂直於經過切點的半徑。
切線長定理
從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。
以下簡述切線長定理的證明。
欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。
設OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）
∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。
切割線定理
切割線定理的證明：
圓的一條切線與一條割線相交於p點，切線交圓於C點，割線交圓於A B兩點 ， 則有pC^2=pA·pB
設ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT2=PA·PB
證明：連線AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠APT=∠TPB(公共角)
∴△PBT∽△PTA(兩角對應相等,兩三角形相似)
則PB：PT=PT：AP
即：PT2=PB·PA
割線定理
割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。
一條直線與一條弧線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線。
與切割線定理相似：兩條割線交於p點，割線m交圓於A1 B1兩點，割線n交圓於A2 B2兩點，則pA1·pB1=pA2·pB2。
如圖直線ABP和CDP是自點P引的⊙O的兩條割線，求證：PA·PB=PC·PD
證明：連線AD、BC∵∠A和
∠C都對弧BD
∴由圓周角定理，得 ∠DAP=∠BCP
又∵∠P=∠P
∴△ADP∽△CBP
（如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。）
∴AP:CP=DP:BP
即AP·BP=CP·DP
垂徑定理
垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分這條弦所對的兩條弧。
設在⊙O中，DC為直徑， AB是弦，AB⊥DC於點E，AB、CD交於E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
連線OA、OB分別交⊙O於點A、點B
∵OA、OB是⊙O的半徑
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）
∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
∴弧AC=弧BC
弦切角定理
弦切角等於對應的圓周角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）
已知：直線PT切圓O於點C，BC、AC為圓O的弦。
求證：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
證明：設圓心為O，連線OC，OB,。
∵∠OCB=∠OBC
∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)
又∵∠BOC=2∠BAC
∴∠OCB=90°-∠BAC
∴∠BAC=90°-∠OCB
又∵∠TCB=90°-∠OCB
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
綜上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
圓的方程
1、圓的標準方程：
在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。
特別地，以原點為圓心，半徑為r（r>0）的圓的標準方程為x2+y2=r2。
2、圓的一般方程：
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：
（1）當D2+E2-4F>0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以
為半徑的圓；
（2）當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點（-D/2，-E/2）；
（3）當D2+E2-4F<0時，方程不表示任何圖形。
3、圓的參數方程：
以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數方程是 x=a+r·cosθ, y=b+r·sinθ, （其中θ為參數）
圓的端點式：
若已知兩點A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線段AB為直徑的圓的方程為 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0
經過圓 x2+y2=r2上一點M（a0，b0）的切線方程為 a0·x+b0·y=r2
在圓（x2+y2=r2）外一點M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2。
4、圓的三點式方程：過不共線的三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的圓的方程為
圓的三點式方程繪製方式
一般情況下可用圓規畫出圓形，或用一段繩子，一頭固定在地上，一頭轉，就能轉出圓，繩子越長，圓越大。
用AutoCAD繪圓
在AutoCAD“繪圖”下拉選單中，列出了6種“圓”的繪製方法，簡述如下：
（1）利用圓心和半徑繪圓：用滑鼠點取繪圖命令，然後根據提示操作；
（2）利用圓心和直徑繪圓：用滑鼠點取繪圖命令，然後根據提示操作；
（3）以兩點確定直徑繪圓：用滑鼠點取繪圖命令，然後根據提示操作；
（4）以三點確定直徑繪圓：用滑鼠點取繪圖命令，然後根據提示操作；
（5）以確定半徑與兩個圖形對象相切繪圓：用滑鼠點取繪圖命令，然後根據提示操作。
richtext控制項繪圓
然後按照以下步驟來實現
1 生成一個控制項（如Label）,並調整相應的屬性
2 在記憶體中建立一張臨時的圖像作為畫布，使用GDI+等各種繪圖,將圖像繪製到畫布上
3 將生成的控制項Image或BackGroundImage屬性值設定為步驟2生成的圖像
4 使用RichTextBox1.Controls.Add方法，將控制項添加進去（您可以指定它的坐標）
5 將當前已經添加的控制項的坐標記錄在數組中（如對應第1個數據）
6 添加RichTextBox1.Scroll事件代碼，在該代碼中，
過獲取滾動條的值來計算已添加控制項應該所在的位置
說明：控制項可以通過代碼生成（推薦）
該方法與網上流傳的QQ聊天視窗內RichTextBox方法不同，
屬於簡單型
您務必要定義一個數組，用來參與ScrollBar滾動時，將目標控制項重新定位
歷史介紹
圓形，是一個看來簡單，實際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔，那些孔有的就很像圓。到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。當人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當然比扛著走省勁得多。
約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。
會作圓，但不一定就懂得圓的性質。古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。
任意一個圓的周長與它直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率，用字母π表示。它是一個無限不循環小數，π=3.1415926535……但在實際運用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr.《周髀算經》上說"周三徑一"，把圓周率看成3，但是這只是一個近似值。美索不達來亞人在作第一個輪子的時候，也只知道圓周率是3。魏晉時期的劉徽於公元263年給《九章算術》作注時，發現"周三徑一"只是圓內接正六邊形周長和直徑的比值。他創立了割圓術，認為圓內接正多連形邊數無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓內接正3072邊形的圓周率，π= 3927/1250。劉徽把極限的概念運用於解決實際的數學問題之中，這在世界數學史上也是一項重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計算基礎上繼續推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數精確值，他還用兩個分數值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。 在歐洲，直到1000年後的十六世紀，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個數值。如今有了電子計算機，圓周率已經算到了小數點後五萬億位小數了。
