單擺

單擺

單擺是能夠產生往復擺動的一種裝置,將無重細桿或不可伸長的細柔繩一端懸於重力場內一定點,另一端固結一個重小球,就構成單擺。若小球只限於鉛直平面內擺動,則為平面單擺,若小球擺動不限於鉛直平面,則為球面單擺。

單擺運動的近似周期公式為:T=2π√(L/g)。其中,L為擺長,g為當地的重力加速度。

基本介紹

  • 中文名:單擺
  • 外文名:pendulum
  • 分類:擺
  • 組成:輕桿、細繩、小球
定義,周期,公式,說明,動力學方程,小角近似周期,真實周期推導,相關差別,套用,

定義

周期

在非常小的振幅(角度)下,單擺做簡諧運動的周期跟擺長的平方根成正比,跟重力加速度的平方根成反比,跟振幅擺球的質量無關。

公式

單擺是一種理想的物理模型,它由理想化的擺球和擺線組成.擺線由質量不計、不可伸縮的細線提供;擺球密度較大,而且球的半徑比擺線的長度小得多,這樣才可以將擺球看做質點,由擺線和擺球構成單擺.在滿足偏角小於10°的條件下,單擺的周期為
單擺在一個振動周期內的受力分析示意圖單擺在一個振動周期內的受力分析示意圖
從公式中可看出,單擺周期與振幅和擺球質量無關.從受力角度分析,單擺的回覆力是重力沿圓弧切線方向並且指向平衡位置的分力,偏角越大,回復力越大,加速度(gsinθ )越大,在相等時間內走過的弧長也越大,所以周期與振幅、質量無關,只與擺長l和重力加速度g有關.在有些振動系統中l不一定是繩長,g也不一定為9.8m/
,因此出現了等效擺長和等效重力加速度的問題.
物理上有些問題與單擺類似,經過一些等效可以套用單擺的周期公式,這類問題稱為“等效單擺”.等效單擺在生活中比較常見.除等效單擺外,單擺模型在其他問題中也有套用.

說明

質點振動系統的一種,是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體,都稱為,但其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分布有關。但若把尺寸很小的質塊懸於一端固定的長度為l且不能伸長的細繩上,把質塊拉離平衡位置,使細繩和過懸點鉛垂線所 成角度小於10°,放手後質塊往復振動,可視為質點的振動,其周期T只和長度l和當地的重力加速度g有關,即T和質塊的質量 、形狀和振幅的大小都無關係,其運動狀態可用簡諧振動公式表示,稱為單擺。如果振動的角度大於10°,則振動的周期將隨振幅的增加而變大,就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大,繩的質量不能忽略,就成為復擺,周期就和擺球的尺寸有關了。
單擺在一個振動周期內速度與加速度的變化單擺在一個振動周期內速度與加速度的變化

動力學方程

由牛頓力學,單擺的運動可作如下描述。
首先我們可以得到,重力對單擺的力矩為
其中m為質量,g是重力加速度,l是擺長,θ是單擺與豎直方向的夾角,注意,θ是矢量,這裡取它在正方向上的投影。
我們希望得到擺角θ的關於時間的函式,來描述單擺運動。由角動量定理我們知道,
其中
是單擺的轉動慣量
是角加速度。
於是化簡得到
(1)

小角近似周期

我們知道(1)式是一個非線性微分方程。所以嚴格地說上面的(1)式描述的單擺的運動並不是簡諧運動
不過,在θ比較小時,近似地有sin θ ≈ θ。(即
。)因而此時(1)式就變為
,這是一個二階常係數線性齊次微分方程,其通解為
,式中A.
為任意常數,由初值條件給定。而
於是單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動
一般在高考之類的考試中,認為10°以下可以這樣近似。
事實上5°≈0.087266 rad,sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一點幾,是十分接近的。在低精度的實驗中,這種系統誤差可以忽略不計(因為實驗操作中的偶然誤差就比它大)。但如果換成25°,誤差高達百分之三,就不宜再看成是簡諧振動了。
由於正弦函式的性質,這個近似是角度越小,越精確,角度越大越不精確。如果角度很大(比如60度處,誤差高達17%),就完全不能說它是簡諧振動了。
伽利略第一個發現擺的振動的等時性,並用實驗求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動。惠更斯製成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器,也可用來測量重力加速度的變化。惠更斯的同時代人天文學家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬蓋亞那,發現每天慢2.5min,經過校準,回巴黎時又快2.5min。惠更斯就斷定這是由於地球自轉引起的重力減弱。I. 牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質量成正比的。直到20世紀中葉,擺依然是重力測量的主要儀器。
小角近似公式和實際曲線比較小角近似公式和實際曲線比較

真實周期推導

上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式,但科學是嚴謹的,在此補充在任意角度下單擺的周期公式。
在此之前先提出兩個概念(這裡用Mathematica的定義):
第一類不完全橢圓積分
第一類完全橢圓積分:
下面我用微分方程進行討論,讀者可以嘗試用動能定理進行計算,可以更簡潔地得到其特解。
設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ,那么單擺的運動公式為:
,於是有
上式改寫成:
這是一個可分離變數的微分方程!分離變數:
其通解為
給定初始條件
(0≤α≤π),
,則其特解為:
所以考慮t(t是四分之一周期):
,則
又考慮到
便可以化簡得到
按照前面的定義,便有
此處的α就是常說的擺角。

相關差別

直觀差別圖如右:
利用電腦軟體,我們列出近似公式與真實公式的差別。
下面數據皆是相對誤差:相對誤差=(真實值-近似值)/真實值
每一行,擺角相差1度,自0取到180度。
0
0.0019038558531896002%
0.0076153871712633745%
0.01713448526148856%
0.030460969075184717%
0.047594585366650885%
0.06853500891589595%
0.09328184281540482%
0.12183461882124084%
0.1541927977688524%
0.1903557700540208%
0.23032285617945628%
0.27409330736761933%
0.32166630624041737%
0.37304096756649924%
0.42821633907694606%
0.48719140235023334%
0.549965073767417%
0.6165362055385787%
0.686903586801647%
0.7610659447947971%
0.839021946103721%
0.92077019798515%
1.006309249768103%
1.0956375943344412%
1.188753669680396%
1.2856558605608566%
1.386342500218304%
1.490811872198394%
1.599062212254311%
1.7110917103421366%
1.8268985127096076%
1.9464807240807704%
2.0698364099391786%
2.1969635989124314%
2.3278602852610035%
2.4625244314744745%
2.600953970978439%
2.7431468109555626%
2.8891008352844154%
3.038813907599942%
3.192283874479603%
3.3495085687594606%
3.5104858129847005%
3.675213422999331%
3.843689211680047%
4.0159109928195225%
4.191876585164665%
4.371583816615697%
4.555030528592199%
4.742214580572629%
4.933133854814164%
5.127786261260084%
5.326169742642323%
5.5282822797872475%
5.734121897133129%
5.9436866684683%
6.156974722899461%
6.3739842510601274%
6.594713511569824%
6.819160837755173%
7.04732464464473%
7.279203436250061%
7.514795813146305%
7.754100480366246%
7.99711625562274%
8.243842077875229%
8.494277016257039%
8.748420279381131%
9.006271225043092%
9.2678293703413%
9.533094402235417%
9.802066188565687%
10.074744789556986%
10.351130469833013%
10.63122371096772%
10.915025224602775%
11.202535966161768%
11.493757149193899%
11.788690260382037%
12.087337075252421%
12.389699674625776%
12.695780461852351%
13.00558218087636%
13.319107935178396%
13.636361207647948%
13.957345881441757%
14.282066261887804%
14.610527099499105%
14.942733614166162%
15.278691520602091%
15.61840705511994%
15.961887003827869%
16.309138732334322%
16.660170217062607%
17.014990078281997%
17.373607614971124%
17.7360328416386%
18.10227652723615%
18.472350236310504%
18.846266372552723%
19.224038224916786%
19.605680016494205%
19.991206956347447%
20.380635294522822%
20.773982380483087%
21.171266725221678%
21.57250806734433%
21.977727443430435%
22.386947263015642%
22.800191388569722%
23.21748522087999%
23.63885579029045%
24.06433185429185%
24.493944002007527%
24.92772476617582%
25.365708743292277%
25.807932722644754%
26.254435825053335%
26.70525965221522%
27.160448447654655%
27.62004927039044%
28.08411218256101%
28.552690452391587%
29.025840774051932%
29.50362350614023%
29.986102930741776%
30.47334753525516%
30.965430319458193%
31.462429130607322%
31.96442702973461%
32.47151269273426%
32.98378085032637%
33.50133277156177%
34.0242767962028%
34.552728922099824%
35.086813454603366%
35.62666372613477%
36.17242289531702%
36.72424483658309%
37.282295132982576%
37.84675218706157%
38.41780846727546%
38.99567191050804%
39.58056750504079%
40.172739082901636%
40.77245135613077%
41.37999223839477%
41.99567550190461%
42.61984383019676%
43.25287234061159%
43.895172667035965%
44.54719771472042%
45.20944722616039%
45.88247433208869%
46.56689330724679%
47.263388810526784%
47.972726968588255%
48.69576876871157%
49.433486371410815%
50.18698315232789%
50.95751856030661%
51.7465392710714%
52.55571868071775%
53.38700761086381%
54.24270033499423%
55.12552192866632%
56.03874591621829%
56.986355981090206%
57.97327350290041%
59.00568652891076%
60.09154082585585%
61.24130132912596%
62.46918883739732%
63.795307588848516%
65.24958544634976%
66.87982354979094%
68.77058140504862%
71.09802414324294%
74.36597547372776%
100%

套用

當單擺周期T=2s時,由公式推導,擺長大約為1m,這種情況的單擺叫做秒擺。秒擺常見於擺鐘上。
注意:在當前高中階段,一般研究擺角小於10°的情況(即近似看做簡諧運動),且高中階段教材中僅涉及在實驗中推測公式,不涉及單擺周期公式的推導(因為需要涉及到高等數學)。
秒擺示意圖秒擺示意圖

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