商對象(quotient object)是商代數系概念的推廣。它是子對象的對偶概念。設A，B為範疇C的兩個對象。若有滿態射π：A→B，則稱B為A的商對象。
基本介紹
- 中文名：商對象
- 外文名：quotient object
- 領域：數學
- 學科：範疇論
- 性質：商代數系概念的推廣
- 對偶：子對象
概念,商範疇,範疇,同態,
概念
商對象(quotient object)是商代數系概念的推廣。它是子對象的對偶概念。設A，B為範疇C的兩個對象。若有滿態射π：A→B，則稱B為A的商對象。例如在環範疇中，若π：R→S為環的滿同態，則ker π為R的理想且SR/ker π，即S在同構意義下為R的商環。用範疇語言講，即S為R的商對象。
商範疇
商範疇(quotient category)是代數系的商代數系及局部化的高度推廣。若C為一個範疇，二元關係R對C中任兩個對象A，B的態射集HomC(A，B)都給出一個二元關係RA，B，則必有一個範疇C/R(其對象類仍為C的對象類)，以及一個函子Q=QR：C→C/R使：
1.若f，f′∈HomC(A，B)且fRA，Bf′，則Qf=Qf′.
2.若D為一個範疇，H：C→D是一個使fRA，Bf′蘊含著Hf=Hf′的函子，則有惟一的函子H′：C/R→D使H′°Q=H.
3.函子Q關於對象是滿單的。
由二元關係R必可誘導一個使RR′的最小的二元關係R′，使對任意的A，B，R′AB都是HomC(A，B)上的等價關係.於是按R′A，B可得商集HomC(A，B)/R′A，B.C/R關於A，B的態射集HomC/R(A，B)就取為HomC(A，B)/R′A，B，態射合成按顯見的方式定義，這樣得出的範疇C/R稱為範疇C(關於R)的商範疇.例如取C=Top(對象為拓撲空間，態射為連續映射)，取R為同倫關係，則得C的商範疇C/R，它以拓撲空間A，B，…為對象，而HomC/R(A，B)則為A到B的連續映射之同倫類的集合。對局部小的阿貝爾範疇A，若B為A的塞爾子範疇，則可按下法定義一個範疇A/B，其對象類即A的對象類；其態射集(對任意的對象A，B)定義為：
其中，表集範疇中的正向極限，態射合成按顯見方式定義。這個範疇A/B就稱為A關於B的商範疇。A/B仍為一個阿貝爾範疇。
範疇
範疇是範疇論的基本概念之一。稱C是一個範疇，是指C滿足下述六點：
1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C。
2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B。
3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成。
4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。
5.態射合成滿足結合律。
6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素εA使對σ∈Hom(A，B)恆有σεA=σ=εBσ，稱εA為A的恆等態射(εB為B的恆等態射)。
例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得群範疇Group，阿貝爾群範疇AG，環R上的左R模範疇RM等。以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φab，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個範疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義範疇。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態。這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
