二次無理數

二次無理數(quadratic irrational number)是一類特殊的無理數，指滿足整係數二次方程的無理數，這個方程的另一個解稱為這個無理數的共軛數，稱這兩個二次無理數互為共軛數。二次無理數有下面性質：1.每個純循環連分數對應著一個大於1的二次無理數，它的共軛數是大於-1的負數；反之亦然。2.二次無理數的連分數都是循環的；反之亦然。1770年，柏林出版了歐拉(L.Euler)的數論專著《代數指南》，書中附有拉格朗日(J.-L.Lagrange)的《數論隨筆》，並稱上面的性質2為關於二次無理數的拉格朗日定理。

基本介紹

• 中文名：二次無理數
• 外文名：quadratic irrational number
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等數論(連分數)
• 簡介：滿足整係數二次方程的無理數

基本概念

定義 一個複數α稱為二次無理數，如果它是某個整係數二次方程

ax²+bx+c=0

的根。特別地，當二次無理數α是實數時，我們就稱其為實二次無理數。任何無限循環連分數表示二次無理數，任何二次無理數都可用無限循環連分數來表示。

相關定理及概念

定理1α是二次無理數的充分必要條件是存在非平方的整數d，及有理數r，s，s≠0，使

特別地，α是實二次無理數的充分必要條件是d>0。

定理2 設整數d不是平方數，那么形如(r，s是有理數)的數的和、差、積、商仍然是這種形式。

定義 對於無限簡單連分數，如果存在兩個整數s≥0，t>0使得

則我們就稱該連分數為循環連分數，並記為

例如a=[5，3，4，1，2，1，2，…]，則這個循環連分數的s=3，t=2。

定理3 一個循環連分數必是實二次無理數，即是某個整係數二次不可約方程的根。反之亦然。

每個純循環連分數收斂於一個二次無理數α，滿足 ，下面是其逆命題。

設α是一個二次無理數，滿足，存在正整數p，q，d，其中d是非平方數，使得p。

2.設d是非平方正整數，p和q是整數，，，則：

(1)若，其中，其中，其中和是整數；

(2)若，其中，則，其中p₂和q₂是整數；

(3)若，其中，則，其中與是整數；

(4)每個且；

(5)只有有限多個不同的；

(6)若(1≤n≤m)是第一次重複出現的兩個數，則，進而利用歸納法得到對一切正整數i成立；

(7)若，則對一切n有；

(8)若n>1，則，所以；

(9)因為，所以，且，於是，因此n=1。