二次插值是通過二次多項式函式逼近未知函式的一種插值方法。該方法最早見於中國隋唐時期天文學領域，開元十五年（727年）一行在《大衍曆》中首次套用二次插值推算日月運動軌跡。宋元時期發展為三次內插法，郭守敬在《授時曆》（1280年）中運用該方法計算天體運動，數學家朱世傑則提出包含二次項的高次內插公式"招差術"，其表達式為f(n)=n△+n(n-1)△/2!+n(n-1)(n-2)△/3!+…，與牛頓-格列高里插值公式實質一致。1993年全國科學技術名詞審定委員會將其作為數學名詞正式發布。
基本介紹
- 公布時間：1993年
- 公布機構：全國科學技術名詞審定委員會
- 套用領域：曆法計算、數值分析
- 相關方法：三次插值法、招差術
- 歷史起源：隋唐時期天文學
歷史沿革,算法原理,套用領域,古代天文學,現代數值分析,數學意義,
歷史沿革
中國古代數學家為解決天體運動的不均勻性問題，在隋唐時期創立二次插值法。據史料記載，僧一行在編纂《大衍曆》（727年）時，採用等間距二次插值公式推算日躔表，即太陽視運動不均勻的修正值。
至宋元時期，數學家發現二次插值法在計算具有加速度變化的天體運動時存在局限，遂發展出三次內插法。元代郭守敬在《授時曆》（1280年）中運用三次內插公式推算月離表，將計算精度提升至小數點後五至六位。
數學家朱世傑在《四元玉鑒》（1303年）中提出"招差術"，構建了包含二次項的高次內插公式，其表達式為：
$$f(n)=n\triangle+\frac{n(n-1)\triangle^2}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)\triangle^3}{3!}+\cdots$$
該公式在數學本質上與牛頓-格列高里插值公式一致，但提出時間早於歐洲約數百年。
$$f(n)=n\triangle+\frac{n(n-1)\triangle^2}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)\triangle^3}{3!}+\cdots$$
該公式在數學本質上與牛頓-格列高里插值公式一致，但提出時間早於歐洲約數百年。
算法原理
作為分段插值法的基本形式，二次插值使用拋物線函式逼近未知函式。其核心思想是通過三個已知點的函式值構造二次多項式，解決以下兩類問題：
- 等間距情形下的差分計算
- 非等間距情形下的函式逼近
在《大衍曆》套用中，算法採用二次插值法處理太陽周年視運動的不均勻性，用於推算日月五星的運動軌跡。
套用領域
古代天文學
- 日躔月離表計算（727年《大衍曆》）
- 五星運動軌跡推算（宋代《紀元歷》）
- 授時曆法編訂（1280年《授時曆》）
現代數值分析
- 函式近似計算
- 工程數據擬合
- 計算機圖形學中的曲線生成
數學意義
二次插值法的算法化特徵推動了中國古代數值計算技術的發展，其演變過程呈現了從二次到高次插值的理論發展。招差術的創立標誌著中國在中世紀插值法研究領域的重要成就，該方法建立的差分體系為後世有限差分法的發展奠定基礎。
