二次函式性質:定義,表達式,①一般式,②頂點式,③交點式,轉化,有關性質,拋物線的

一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函式。

頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k為常數)。

交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，a、且x1、x2為常數)x1、x2為二次函式與x軸的兩交點。

等高式：y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0，且過（x1、m）（x2、m）為常數)x1、x2為二次函式與直線y=m的兩交點。

基本介紹

中文名：二次函式的性質
外文名：[英文]quadratic function
一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
內容：二次函式的各種表達式特性
類型：數學用語
頂點式：y=a(x-h)2+k

定義,表達式,①一般式,②頂點式,③交點式,轉化,有關性質,拋物線的性質,二次函式的性質,

定義

一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a 、b、c為常數)，則稱y為x的二次函式。

頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k為常數)

交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2為常數)

重要知識：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。

二次函式表達式的右邊通常為二次。

x是自變數，y是x的二次函式

一元二次方程求根公式

當b²-4ac>0 時

當b²-4ac=0時

x1=x2=-b/2a

表達式

①一般式

y=ax²+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

②頂點式

[拋物線的頂點 P(h，k) ]：y=a(x-h)²+k(a,h,k為常數,a≠0)

③交點式

[僅限於與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2為常數,)

轉化

3種形式的轉化∶

①一般式和頂點式

對於二次函式y=ax²+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b²)/4a)，即

h=-b/2a=(x1+x2)/2

k=(4ac-b²)/4a

②一般式和交點式

x1,x2=[-b±√(b²-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

有關性質

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )

當-b/2a=0，〔即b=0〕時，P在y軸上；當Δ= b²-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數

Δ= b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b²－4ac乘上虛數i，整個式子除以2a）

當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b²〕/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函式，在{x|x>-b/2a}上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)

7.定義域：R

值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無窮）；②[k，正無窮）

奇偶性：非奇非偶（若且唯若b=0時，函式解析式為f（x）=ax²+c, 此時為偶函式）

周期性：無

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴a≠0，a、b、c為常數。

⑵a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；

⑷Δ=b²-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交於兩點：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b-√Δ]/2a，0）；

Δ=0，圖象與x軸交於一點：

（-b/2a，0）；

Δ<0，圖象與x軸無交點；

②y=a(x-h)²+k[配方式]

此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a。

二次函式的性質

特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax²+bx+c(a≠0)，

當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax²+bx+c=0(a≠0)

此時，函式圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函式與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函式y=ax²，y=ax²+k,y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式	y=ax²+k	y=ax²	y=a(x-h)²	y=a(x-h)²+k	y=ax²+bx+c
頂點坐標	(0,k)	(0，0)	(h，0)	(h，k)	(-b/2a，4ac-b²/4a)
對稱軸	x=0(y軸)	x=0(y軸)	x=h	x=h	x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；

因此，研究拋物線 y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．

3．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．

4．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b²-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x2-x1| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由2x|A+b/2a|（A為其中一點的橫坐標）

當△=0．圖象與x軸只有一個交點；

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．

5．拋物線y=ax²+bx+c的最值（也就是極值）：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．

頂點的橫坐標，是取得極值時的自變數值，頂點的縱坐標，是極值的取值．

6．用待定係數法求二次函式的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

y=ax²+bx+c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函式知識很容易與其它知識綜合套用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中高考的熱點考題，往往以大題形式出現。

二次函式性質