一元一次方程

一元一次方程指只含有一個未知數、未知數的最高次數為1且兩邊都為整式的等式。一元一次方程只有一個根。一元一次方程可以解決絕大多數的工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、積分表問題、電話計費問題、數字問題。

一元一次方程最早見於約公元前1600年的古埃及時期。公元820年左右，數學家花拉子米在《對消與還原》一書中提出了“合併同類項”、“移項”的一元一次方程思想。16世紀，數學家韋達創立符號代數之後，提出了方程的移項與同除命題。1859年，數學家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。

基本介紹

• 中文名：一元一次方程
• 外文名：linear equation with one unknown
• 標準形式：ax+b=0或ax=b（a≠0）
• 類型：整式方程、線性方程
• 創立者：韋達
• 學科：數學

研究歷史

一元一次方程最早見於約公元前1600年的古埃及時期。

約公元前1650年，古埃及的萊因德紙草書中記載了第24題，題目為：“一個量，加上它的等於19，求這個量。”解決了形為的一次方程，即單假設法解決問題。

花拉子米

公元前1世紀左右，中國人在《九章算術》中首次加入了負數，並提出了正負數的運算法則，解決了移項問題。在“盈不足”一章中提出了盈不足術。但該方法並沒有被用來解決一元一次方程。在11～13世紀時傳入阿拉伯地區，並被稱為“契丹算法”。

9世紀，阿拉伯數學家花拉子米在《對消與還原》中給出了解方程的簡單可行的基本方法，即“還原”和“對消”。但沒有採用字母符號。體現了明顯的方程的思想。

12世紀，印度數學家婆什迦羅在《麗拉沃蒂》一書中用假設法（設未知數）來解決一類一元一次方程。由於所假設的數可以是任意正數，婆什迦羅稱上述方法為“任意數算法”。

13世紀，中國的盈不足術傳入歐洲，義大利數學家斐波那契在《計算之書》中利用單假設和雙假設法來解一元一次方程。

韋達

16世紀時，韋達創立符號代數之後，提出了方程的移項與同除命題，也創立了這一概念，被尊稱為“現代數學之父”。但是韋達沒有接受負數。

16世紀時，明代數學家程大位（1533-1606）在《算法統宗》一書中也用假設法來解一元一次方程。

1859年，中國數學家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。

定義

只含有一個未知數，且未知數的高次數是1，等號兩面都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。其一般形式是：

有時也寫作：

可以通過等式性質化簡而成為一元一次方程的整式方程（如）也屬於一元一次方程。一元一次方程是一種線性方程，且只有一個根。

求根方法

一般方法

解一元一次方程有五步，即去分母、去括弧、移項、合併同類項、係數化為1，所有步驟都根據整式和等式的性質進行。

以解方程為例：

去分母，得：

去括弧，得：

移項，得：

合併同類項，得：（常簡寫為“合併，得：”）

係數化為1，得：

在一元一次方程中，去分母一步通常乘以各分母的最低公倍數，如果分母為分數，則可化為該一項的其他部分乘以分母上分數的倒數的形式。

以方程為例：

消除分母上的分數，可化簡為：

進而得出方程的解。

如果分母上有無理數，則需要先將分母有理化。

求根公式法

基本公式

對於關於的一元一次方程，其求根公式為：

推導過程

解：移項，得：

係數化為1，得：

圖像法

對於關於的一元一次方程可以通過做出一次函式來解決。一元一次方程的根就是它所對應的一次函式函式值為0時，自變數的值。即一次函式圖象與x軸交點的橫坐標。

一次函式

以方程為例：

如圖，作出函式的圖象。

∵函式圖象與x軸交於點

∴原方程的根是

方程套用

基本套用

一元一次方程通常可用於做數學套用題，也可套用於物理、化學的計算。

如在生產生活中，通過已知一定的液體密度和壓強，通過公式代入解方程，進而計算液體深度的問題。例如計算大氣壓強約等於多高的水柱產生的壓強，已知大氣壓約為100000帕斯卡，水的密度約等於1000千克每立方米，g約等於10米每二次方秒（10牛每千克），則可設水柱高度為h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大氣壓強約等於10米的水柱所產生的壓強。

問題舉例

丟番圖問題

希臘數學家丟番圖的墓碑上記載著：

丟番圖長眠於此，他的目標多么令人驚訝，它忠實地記錄了他生命的軌跡：上帝給予的垂髫時光占六分之一，又過了十二分之一，髯須漸漸長出，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。五年之後弄璋之喜，兒子誕生。可憐遲來的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過了四年，他也走完了人生的旅途。終於告別數學，離開了人世。

根據以上信息，算出：（1）丟番圖的壽命；（2）丟番圖開始當爸爸時的年齡；（3）兒子死時丟番圖的年齡。

解法：設丟番圖的壽命x歲；

則

解得x=84,

∴丟番圖開始當爸爸時的年齡：

兒子死時丟番圖的年齡：84-4=80

雞兔同籠問題

“雞兔同籠問題”是我國古算書《孫子算經》中的數學問題，其內容是：“今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。” 譯成現代漢語為：有若干只雞和兔在同個籠子裡，從上面數，有三十五個頭；從下面數，有九十四隻腳。籠中各有幾隻雞和兔？

該問題可用一元一次方程解決，解法如下：

解法：設雞有x只，兔有只

由題意得：

解得：x=23

∴35-x=12

答：雞有23隻，兔有12隻。

有限循環小數化為分數問題

利用一元一次方程可以將一個有限循環小數化為分數，以為例：

設，則

同時，該方法也可用來證明的問題。

方程意義

一元一次方程可以解決絕大多數的工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、積分表問題、電話計費問題、數字問題。如果僅使用算術，部分問題解決起來可能異常複雜，難以理解。而一元一次方程模型的建立,將能從實際問題中尋找等量關係，抽象成一元一次方程可解決的數學問題。例如在丟番圖問題中，僅使用整式可能無從下手，而通過一元一次方程尋找作為等量關係的“年齡”，則會使問題簡化。一元一次方程也可在數學定理的證明中發揮作用，如在初等數學範圍內證明“0.9的循環等於1”之類的問題。通過驗證一元一次方程解的合理性，達到解釋和解決生活問題的目的，從一定程度上解決了一部分生產、生活中的問題。